Baoriven

Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của: $G=\sqrt{1+\frac{16x}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{16y}{z+x}}+\sqrt{1+\frac{16z}{x+y}}$

Cho mình hỏi câu 7.10 chia góc 54 làm 3 phần bằng nhau sao ????

Ai tới phần 7 eta câu đầu chưa. làm sao vẽ được cái hình vuông đó

Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là tiếp điểm của (I) với AB,BC,CD,DA; 

x,y,z,t là khoảng cách từ A,B,C,D tới các tiếp điểm tương ứng.

Theo định lí con nhím, ta có: 

$(x+y)\overrightarrow{IM}+(y+z)\overrightarrow{IN}+(z+t)\overrightarrow{IP}+(t+x)\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow (y+t)\overrightarrow{IE}+(x+z)\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IE}//\overrightarrow{IF}$

Suy ra I,E,F thẳng hàng.

Phá ngoặc phương trình (1) dễ có được: $x+y=0$

Sau đó thế vào phương trình (2) , được nghiệm $x=-1;-2$

P/S: chắc đây là một bài liên quan vecto 

Bài 16: Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có: 

$\sum xy\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\leq \frac{1}{8}\sum (x+y)^3$

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$

Tìm GTNN của: $P=(2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc)\sum \frac{1}{a\sqrt{b^2+c^2}}$

Sử dụng BĐT B-C-S đầu tiên, ta được: $P\geq (1+\sqrt{y})^2(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$

Tiếp tục sử dụng B-C-S lần II ta được : $P\geq (1+3)^4=256$

Dấu bằng xảy ra khi $y=9;x=3$

Tính đạo hàm ta có: $y'=6[x^2-(m+1)x+m]$

$y'=0\Leftrightarrow x=1;m$

Không mất tổng quát,giả sử: $A(1;3m-1);B(m;-m^3+3m^2)$

Lập phương trình đường thẳng AB: $y=Mx+N$

Ta giải hpt: $\left\{\begin{matrix}3m-1=M+N \\ -m^3+3m^2=Mm+N \end{matrix}\right.$

Từ đó ta được: $-(m-1)^3=M(m-1)$

Dễ dàng thấy loại ngay $m=1$.

Suy ra $M=-(m-1)^2$

mặt khác do AB vuông góc (d) nên $M=-1$

suy ra $m=0;2$

Thử lại: $m=0;2$ thỏa mãn.

Ta thấy: $H=x+y\leq \sqrt[3]{4(x^3+y^3)}$

Ta chuyển sang Tìm MAX của: $G=x^3+y^3$

Sử dụng BCS, ta có: $(x^3+y^3)^2=(x\sqrt{x}.x\sqrt{x}+y^2.y)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)$

$\Rightarrow (x^3+y^3)^2\leq (x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq (\frac{x^2+y^2+x^3+y^3}{2})^2$

$\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$

Ta chứng minh: $x^2+y^2\leq 2$

Sử dụng BCS ta có:

$(x^2+y^2)^2=(x\sqrt{x}.\sqrt{x}+y\sqrt{y}.\sqrt{y})^2\leq (x^3+y^3)(x+y)\leq (x^2+y^2)(x+y)$

$\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\Rightarrow x^2+y^2\leq 2$

Vậy có $H\leq \sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\leq \sqrt[3]{4(x^2+y^2)}\leq 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

Vì x,y,z thực dương và $xyz=1$ nên đặt: $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó ta cần tìm GTNN của: $P=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}$

Áp dụng BĐT quen thuộc: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ nhờ sử dụng AM-GM

Vậy Min P=1 khi $x=y=z=1$

Cộng theo vế 2 phương trình cho nhau ta được: $(a+2)x=(a+2)^2+1$

Nhận thấy ngay $a\neq -2$ Nên ta có: $x=a+2+\frac{1}{a+2}$

Suy ra $1\vdots (a+2)$

Do đó được: $a=-3;-1$

Thử lại ta thấy: $a=-1$ thỏa.

Ta có: $VT\leq \frac{2a^2+2ab+(a+b)^2}{2}+\frac{2b^2+(a^2+b^2)}{2}$

$\Leftrightarrow VT\leq a^2+b^2+(a+b)^2\leq 3(a^2+b^2)$

Vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

$VT=\sqrt{[2a(a+b)][(a+b)^2]}+\sqrt{(2b^2)(a^2+b^2)}$

$VT\leq a^2+b^2+(a+b)^2\leq 3(a^2+b^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Bài 68: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}9xy^3+(27x^2+40)y+3x=16+24y^2 \\ y^2+9xy+3(x+3)=10y \end{matrix}\right.$