Đến nội dung

Baoriven

Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Offline Đăng nhập: 27-03-2024 - 23:59
****-

#641769 MIN: $K=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}...

Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 20:48

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$.

Tìm GTNN của: $K=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$




#641746 $\left\{\begin{matrix} x^2+(y^2-y+1)\...

Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 16:02

Nếu phương trình (1) viết lại như sau: $x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3-y+2=0$

Đặt: $a=\sqrt{x^2+2},a>0$

Viết lại phương trình (1): $(y-a)[y^2+2(a+1)]=0$

Do điều kiện nên: $y^2+2(a+1)>0$

Suy ra: $y^2-x^2=2$

Từ đó thế vào (2) ta giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

Ta được x=3.

Do y>0 Nên $y=\sqrt{11}$


  • NAT yêu thích


#641739 $\left\{\begin{matrix} (x+1)^2+y^2=2(1+...

Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 15:13

Đặt: $a=x+1;b=y^2;b\geq 0$

Từ phương trình (1) Suy ra được: $(a+1)[a(a-2)+b]=0$

Dễ thấy $a+1=0\Rightarrow x=-2$ không thỏa phương trình (2).

Từ đó suy ra được: $a(a-2)+b=1\Rightarrow x^2+y^2=1$

Thế $y^2=1-x^2$ vào (2), ta được:

$(-x^3+2x^2-1)\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}-1}=4(1-x^2)$

Suy ra được nghiệm: $x=\pm 1$

Từ đó được $y=0$




#641734 MIN: $A=\frac{x^4}{(y-1)^2}+\frac{y^4...

Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 14:46

Xin giới thiệu một cách khác: 

$A\geq \frac{1}{3}(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1})^2$

$A\geq \frac{1}{3}\frac{(x+y+z)^4}{(x+y+z-3)^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{3}\frac{(x+y+z)^4}{(x+y+z-3)^2}\geq 48$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{a-3}\geq 12;a=x+y+z$

$\Leftrightarrow (a-6)^2\geq 0$ (đúng)

 Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=2$




#641662 $27a^2b^2c^2\geq (a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 21:41

Hình như lời giải có chút nhầm lẫn ở Cauchy 3 số 




#641586 (OLP_30-4)Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\sum...

Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 15:17

Ta có: $(7a^2+b^2+c^2)(7+1+1)\geq (7a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{3}{7a+b+c}$

mà $\frac{1}{9}(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a})\geq \frac{1}{7a+b+c}$

Do đó: $\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{1}{3}(\frac{a}{a+b+c}+\frac{2}{3})$

Chứng minh tương tự ta được đpcm.




#641516 CMR: $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{2xyz}$

Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 08:25

Cho x,y,z không âm thỏa mãn: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=x^2+y^2+z^2$

Chứng minh rằng: $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{2xyz}$




#641432 Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=ab$....

Gửi bởi Baoriven trong 20-06-2016 - 18:33

Bài này dùng Bernoulli.

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Rightarrow a,b> 1,b=\frac{a}{a-1}$

Ta chứng minh: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a>6$

Ta có: $a^{\frac{a}{a-1}}=(1+a-1)^{\frac{a}{a-1}}\geq 1+a$

           $(\frac{a}{a-1})^a=(1+\frac{1}{a-1})^a\geq 1+\frac{a}{a-1}$

Suy ra: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a\geq 2+a+\frac{a}{a-1}=4+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 6$

Dấu bằng ko xảy ra nên ta có đpcm




#641145 MAX: $E=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 21:58

Một cách khá giống nhưng dùng đạo hàm.

Chứng minh phần đầu tương tự.

Suy ra $E\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)$

$\Rightarrow \frac{P}{3^6}\leq \frac{t-1}{(t+2)^3},t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Suy ra $P\leq 3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$

Xét hàm số $f(t)=3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$, Ta có:

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$

Suy ra $P\leq f(t)\leq f(\frac{5}{2})=12$




#641137 $\sum_{cyc}^{a,b,c,d,e} abc \leq 5 $

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 21:25

Mình giải với $a+b+c+d+e=1$. Bạn cứ nhân 5 lên là xong cả mà




#641136 Bất Đẳng Thức Holder và Minkowski

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 21:23

Lời giải bài 6:

Trước tiên biến đổi BĐT cần chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 4(a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{3(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Đặt P là biểu thức VT và $S=c(a+b)^2+b(c+a)^2+a(b+c)^2$

Sử dụng Holder ta có: $PPS\geq 8(a+b+c)^3$

Vậy ta chứng minh: 

$\frac{8(a+b+c)^3}{a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2}\geq \frac{16(a+b+c)^3}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$

BĐT cuối đúng nhờ AM-GM.




#641073 Giải phương trình:

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 15:42

Đặt: $b=\sqrt{2x^3+x^2+2},a=x^2,a,b\geq 0$

Ta có phương trình: $a^2+a=b^2-b\Leftrightarrow a+b=0;a=b-1$

Loại a+b=0.

Xét $a-b+1=0\Rightarrow (x^2-x+1)(x^2-x-1)=0$

Ta được nghiệm: $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$




#641067 $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 15:06

Xin liều giải thử.

$P=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2)$

$P\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$




#640989 MAX: $K=xy+yz+zx-2xyz$

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 08:40

Cho x,y,z thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$.

Tìm GTLN của biểu thức $K=xy+yz+zx-2xyz$




#640987 CMR: $x+y+z\geq xy+yz+zx$ (KHÁC)

Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 08:13

Xin đóng góp 1 cách làm khác.

Từ điều kiện đề bài suy ra: $z=\frac{4-xy}{x+y+xy}$

Thay vào (1), ta có điều cần chứng minh tương đương với:

$x+y-xy+\frac{4-xy}{x+y+xy}(1-x-y)\geq 0$

$\Leftrightarrow (1+y-y^2)x^2+(y^2+y-4)x+y^2-4y+4\geq 0$   (2)

Vì x,y,z dương thỏa mãn đẳng thức đề cho, ta suy ra 3 số không thể cũng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.

Do đó luôn tìm được 2 số, giả sử đó là x và y sao cho $y\leq 1\leq x$

Khi đó: $\Delta =(y^2+y-4)^2-4(1+y-y^2)(y-2)^2=y(5y-8)(y-1)^2\leq 0$

do đó theo định lý về tam thức bậc 2, ta suy (2) đúng với mọi x.