Cho x,y,z dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$.
Tìm GTNN của: $K=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$
- nguyenhongsonk612 yêu thích
Fortis Fortuna Adiuvat
Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 20:48
Cho x,y,z dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$.
Tìm GTNN của: $K=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$
Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 16:02
Nếu phương trình (1) viết lại như sau: $x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3-y+2=0$
Đặt: $a=\sqrt{x^2+2},a>0$
Viết lại phương trình (1): $(y-a)[y^2+2(a+1)]=0$
Do điều kiện nên: $y^2+2(a+1)>0$
Suy ra: $y^2-x^2=2$
Từ đó thế vào (2) ta giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$
Ta được x=3.
Do y>0 Nên $y=\sqrt{11}$
Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 15:13
Đặt: $a=x+1;b=y^2;b\geq 0$
Từ phương trình (1) Suy ra được: $(a+1)[a(a-2)+b]=0$
Dễ thấy $a+1=0\Rightarrow x=-2$ không thỏa phương trình (2).
Từ đó suy ra được: $a(a-2)+b=1\Rightarrow x^2+y^2=1$
Thế $y^2=1-x^2$ vào (2), ta được:
$(-x^3+2x^2-1)\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}-1}=4(1-x^2)$
Suy ra được nghiệm: $x=\pm 1$
Từ đó được $y=0$
Gửi bởi Baoriven trong 22-06-2016 - 14:46
Xin giới thiệu một cách khác:
$A\geq \frac{1}{3}(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1})^2$
$A\geq \frac{1}{3}\frac{(x+y+z)^4}{(x+y+z-3)^2}$
Ta chứng minh: $\frac{1}{3}\frac{(x+y+z)^4}{(x+y+z-3)^2}\geq 48$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{a-3}\geq 12;a=x+y+z$
$\Leftrightarrow (a-6)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=2$
Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 21:41
Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 15:17
Ta có: $(7a^2+b^2+c^2)(7+1+1)\geq (7a+b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{3}{7a+b+c}$
mà $\frac{1}{9}(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a})\geq \frac{1}{7a+b+c}$
Do đó: $\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{1}{3}(\frac{a}{a+b+c}+\frac{2}{3})$
Chứng minh tương tự ta được đpcm.
Gửi bởi Baoriven trong 21-06-2016 - 08:25
Cho x,y,z không âm thỏa mãn: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=x^2+y^2+z^2$
Chứng minh rằng: $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{2xyz}$
Gửi bởi Baoriven trong 20-06-2016 - 18:33
Bài này dùng Bernoulli.
Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Rightarrow a,b> 1,b=\frac{a}{a-1}$
Ta chứng minh: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a>6$
Ta có: $a^{\frac{a}{a-1}}=(1+a-1)^{\frac{a}{a-1}}\geq 1+a$
$(\frac{a}{a-1})^a=(1+\frac{1}{a-1})^a\geq 1+\frac{a}{a-1}$
Suy ra: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a\geq 2+a+\frac{a}{a-1}=4+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 6$
Dấu bằng ko xảy ra nên ta có đpcm
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 21:58
Một cách khá giống nhưng dùng đạo hàm.
Chứng minh phần đầu tương tự.
Suy ra $E\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{P}{3^6}\leq \frac{t-1}{(t+2)^3},t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Suy ra $P\leq 3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$
Xét hàm số $f(t)=3^6.\frac{t-1}{(t+2)^3},t\geq 2$, Ta có:
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$
Suy ra $P\leq f(t)\leq f(\frac{5}{2})=12$
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 21:23
Lời giải bài 6:
Trước tiên biến đổi BĐT cần chứng minh:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 4(a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{3(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Đặt P là biểu thức VT và $S=c(a+b)^2+b(c+a)^2+a(b+c)^2$
Sử dụng Holder ta có: $PPS\geq 8(a+b+c)^3$
Vậy ta chứng minh:
$\frac{8(a+b+c)^3}{a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2}\geq \frac{16(a+b+c)^3}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$
BĐT cuối đúng nhờ AM-GM.
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 15:42
Đặt: $b=\sqrt{2x^3+x^2+2},a=x^2,a,b\geq 0$
Ta có phương trình: $a^2+a=b^2-b\Leftrightarrow a+b=0;a=b-1$
Loại a+b=0.
Xét $a-b+1=0\Rightarrow (x^2-x+1)(x^2-x-1)=0$
Ta được nghiệm: $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 15:06
Xin liều giải thử.
$P=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-y)^2)$
$P\geq 0$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 08:40
Cho x,y,z thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$.
Tìm GTLN của biểu thức $K=xy+yz+zx-2xyz$
Gửi bởi Baoriven trong 18-06-2016 - 08:13
Xin đóng góp 1 cách làm khác.
Từ điều kiện đề bài suy ra: $z=\frac{4-xy}{x+y+xy}$
Thay vào (1), ta có điều cần chứng minh tương đương với:
$x+y-xy+\frac{4-xy}{x+y+xy}(1-x-y)\geq 0$
$\Leftrightarrow (1+y-y^2)x^2+(y^2+y-4)x+y^2-4y+4\geq 0$ (2)
Vì x,y,z dương thỏa mãn đẳng thức đề cho, ta suy ra 3 số không thể cũng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.
Do đó luôn tìm được 2 số, giả sử đó là x và y sao cho $y\leq 1\leq x$
Khi đó: $\Delta =(y^2+y-4)^2-4(1+y-y^2)(y-2)^2=y(5y-8)(y-1)^2\leq 0$
do đó theo định lý về tam thức bậc 2, ta suy (2) đúng với mọi x.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học