huonggiangnguyenngoc

Bài 1: Tìm GTNN của A= x² + 6y² + 14z² - 8yz + 6xz -4xy

A=(x-2y+3z)^{2}+(2z+y)^{2}+z^{2}+y^{2}\geq 0

dấu = khi x=y=z=0

Cho x,y,z là các số thực không âm đôi một khác nhau 

C/m : $(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2} + \frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2})\geq 9$

Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta có quyền giả sử y là số lớn nhất trong ba số x,y,z

Dễ dàng cm được bổ đề $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

do đó ta có $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}\geq \frac{8}{(x-z)^{2}}\rightarrow$ 

Giải hệ sau $\int_{-2a+3=b}^{\sqrt{a}(\sqrt{b}+1)=2}$

ĐKXĐ: $0\leq a\leq \frac{3}{2}$

Thay ptr (2) vào ptr (1) ta có:

$\sqrt{a}.(\sqrt{-2a+3}+1)=2\Leftrightarrow \sqrt{-2a^{2}+3a}=2-\sqrt{a} \Leftrightarrow -2a^{2}+3a=4+a-4\sqrt{a}$(vì a nhỏ hơn hoặc bằng 3/2 nên $2-\sqrt{a}\geq 0)$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+2-2\sqrt{a}=0\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)(a\sqrt{a}+a-2)=0\Leftrightarrow a=1$(giải từng trường hợp trong ngoặc đều được a=1)(tm ĐKXĐ). Khi đó: b=1

Cho a,b,c>0 t/m: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq \sqrt{c}$ và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}$. Cmr: $\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^{2}}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

từ gt suy ra:$\left\{\begin{matrix}a=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}-(\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+2\sqrt{b}-\sqrt{c}) \\ b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}-(\sqrt{a})^{2}=(\sqrt{b}-\sqrt{c})(2\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}) \end{matrix}\right.$

thay vào vế trái của đẳng thức cần cm ta có VT=$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\sqrt{c})}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})}=VP$ 

SUY RA đpcm

Tìm tất cả số tự nhiên n trong khoảng (1000;10000000) để : 

$B=\sqrt[4]{22122010+6n}$    là số tự nhiên 

đặt B=$\sqrt[4]{22122010+6n}=a$(a thuộc N)

do n thuộc khoảng (1000;10000000) nên $69\leq a\leq 95$(1)

Mặt khác từ trên ta suy ra $n=\frac{a^{4}-22122010}{6}\Leftrightarrow n=\frac{a^{4}-4}{6}-3687001\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^{4}-4\vdots 2 \\ a^{4}-4\vdots 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ a lẻ và a chia 3 dư 1(2)

Kết hợp (1) và(2) ta được a bằng 70;76;82;88;94. Từ đó tìm ra n