12345678987654321123456789

Không gian mẫu : $8\cdot7\cdot6=336$
Số tự nhiên lớn hơn $618$ gồm :
- $\overline{62x},\overline{63x}\cdots\overline{68x}$ : có $1\cdot6\cdot6=36$ số
- $\overline{7xx},\overline{8xx}$ : có $2\cdot7\cdot6=84$ số
Do đó xác suất cần tìm : $\frac{36+84}{336}=\frac{5}{14}$

$\begin{align*}1=(\sin^2x+\cos^2x)^5&=\sin^{10}x+\cos^{10}x+5\sin^2x\cos^2x(\sin^6x+cos^6x)+10\sin^4x\cos^4x(\sin^2x+\cos^2x)\\&=\sin^{10}x+\cos^{10}x+5\sin^2x\cos^2x\left[(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)\right]+10\sin^4xcos^4x\\&=\sin^{10}x+\cos^{10}x+5\sin^2x\cos^2x-15\sin^4x\cos^4x+10\sin^4x\cos^4x\\&=\sin^{10}x+\cos^{10}x+5\sin^2x\cos^2x-5\sin^4x\cos^4x\\&\Rightarrow\sin^{10}x+\cos^{10}x=1-5\sin^2x\cos^2x+5\sin^4x\cos^4x\\&\Rightarrow\frac{\sin^{10}x+\cos^{10}x}{1-5\sin^2x\cos^2x+5\sin^4x\cos^4x}=1\end{align*}$

$x=0$ không là nghiệm

$$x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+2+\frac{b}{x}+\frac1{x^2}=0$$

$$\Leftrightarrow x^2+\frac1{x^2}+2=-ax-\frac{b}{x}\leq\sqrt{(a^2+b^2)\left(x^2+\frac1{x^2}\right)}$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)^2}{x^2+\frac1{x^2}}=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\frac4{x^2+\frac1{x^2}}+4\geq2\sqrt4+4=8$$

Câu 5: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng

$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$

$$AH^2=HB.HC\Leftrightarrow AH^4=HB^2\cdot HC^2=BD\cdot AB\cdot CE\cdot AC=BD\cdot CE\cdot AH\cdot BC\Leftrightarrow BD\cdot CE=\frac{AH^3}{BC}$$

$$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}\Leftrightarrow BC^2=BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=F$$

Ta có

$$3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=3\sqrt[3]{\frac{AH^6}{BC^2}\cdot BC^2}=3AH^2$$

và

$$BD^2+CE^2=BH^2-DH^2+CH^2-EH^2=(BH+CH)^2-2BH\cdot CH-DE^2$$

$$=BC^2-2AH^2-AH^2=BC^2-3AH^2$$

nên

$$F=BC^2-3AH^2+3AH^2=BC^2$$

Do đó có đpcm

 

*** Cannot compile formula:


\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.86,0.78) rectangle (4.5,4.44);
\draw[line width=2.pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.9877299658684096,3.5900699237959834) -- (-0.617799889664393,3.382339957927574) -- (-0.4100699237959836,3.7522700341315907) -- (-0.78,3.96) -- cycle; 
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-2.24,1.36);
\draw [line width=2.pt] (-2.24,1.36)-- (3.8557640919519542,1.3568401637500553);
\draw [line width=2.pt] (3.8557640919519542,1.3568401637500553)-- (-0.78,3.96);
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (-1.8906374461554312,1.982152493147863)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (0.3292893028666329,3.337091391467198)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (-0.78,3.96) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-0.64,4.33) node {$A$};
\draw [fill=ududff] (-2.24,1.36) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.56,1.43) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (3.8557640919519542,1.3568401637500553) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (4.,1.73) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (-0.7813481432887976,1.359243884615061) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-0.8,1.09) node {$H$};
\draw [fill=uuuuuu] (-1.8906374461554312,1.982152493147863) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-2.16,2.19) node {$D$};
\draw [fill=uuuuuu] (0.3292893028666329,3.337091391467198) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.62,3.59) node {$E$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Câu 1:

c)Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số HS trường đó khoảng 700 đến 750 HS và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6.

$$700<20x+9<750\Leftrightarrow 35\leq x\leq 37$$

Để $(20x+9)+6=20x+15$ chia hết cho $15$ thì $x=36$

 

Câu 2:

2. Chứng minh rằng với mọi $n\epsilon N^*$ THÌ

D=$\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+...+\frac{n}{1+n^2+n^4}< 1$

Vì $n\in N^*$ nên $n^4-n^3+1>0\Leftrightarrow n^4+n^2+1>n^3+n^2=n^2(n+1)\implies \frac{n}{n^4+n^2+1}<\frac1{n(n+1)}=\frac1{n}-\frac1{n+1}$

Thay vào

$$D<1-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1{n}-\frac1{n+1}=1-\frac1{n+1}<1$$