12345678987654321123456789

$x=0$ không là nghiệm

$$x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+2+\frac{b}{x}+\frac1{x^2}=0$$

$$\Leftrightarrow x^2+\frac1{x^2}+2=-ax-\frac{b}{x}\leq\sqrt{(a^2+b^2)\left(x^2+\frac1{x^2}\right)}$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)^2}{x^2+\frac1{x^2}}=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\frac4{x^2+\frac1{x^2}}+4\geq2\sqrt4+4=8$$

Câu 5: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng

$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$

$$AH^2=HB.HC\Leftrightarrow AH^4=HB^2\cdot HC^2=BD\cdot AB\cdot CE\cdot AC=BD\cdot CE\cdot AH\cdot BC\Leftrightarrow BD\cdot CE=\frac{AH^3}{BC}$$

$$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}\Leftrightarrow BC^2=BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=F$$

Ta có

$$3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=3\sqrt[3]{\frac{AH^6}{BC^2}\cdot BC^2}=3AH^2$$

và

$$BD^2+CE^2=BH^2-DH^2+CH^2-EH^2=(BH+CH)^2-2BH\cdot CH-DE^2$$

$$=BC^2-2AH^2-AH^2=BC^2-3AH^2$$

nên

$$F=BC^2-3AH^2+3AH^2=BC^2$$

Do đó có đpcm

*** Cannot compile formula:


\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.86,0.78) rectangle (4.5,4.44);
\draw[line width=2.pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.9877299658684096,3.5900699237959834) -- (-0.617799889664393,3.382339957927574) -- (-0.4100699237959836,3.7522700341315907) -- (-0.78,3.96) -- cycle; 
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-2.24,1.36);
\draw [line width=2.pt] (-2.24,1.36)-- (3.8557640919519542,1.3568401637500553);
\draw [line width=2.pt] (3.8557640919519542,1.3568401637500553)-- (-0.78,3.96);
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (-1.8906374461554312,1.982152493147863)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (0.3292893028666329,3.337091391467198)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (-0.78,3.96) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-0.64,4.33) node {$A$};
\draw [fill=ududff] (-2.24,1.36) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.56,1.43) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (3.8557640919519542,1.3568401637500553) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (4.,1.73) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (-0.7813481432887976,1.359243884615061) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-0.8,1.09) node {$H$};
\draw [fill=uuuuuu] (-1.8906374461554312,1.982152493147863) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-2.16,2.19) node {$D$};
\draw [fill=uuuuuu] (0.3292893028666329,3.337091391467198) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.62,3.59) node {$E$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Câu 1:

c)Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số HS trường đó khoảng 700 đến 750 HS và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6.

$$700<20x+9<750\Leftrightarrow 35\leq x\leq 37$$

Để $(20x+9)+6=20x+15$ chia hết cho $15$ thì $x=36$

Câu 2:

2. Chứng minh rằng với mọi $n\epsilon N^*$ THÌ

D=$\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+...+\frac{n}{1+n^2+n^4}< 1$

Vì $n\in N^*$ nên $n^4-n^3+1>0\Leftrightarrow n^4+n^2+1>n^3+n^2=n^2(n+1)\implies \frac{n}{n^4+n^2+1}<\frac1{n(n+1)}=\frac1{n}-\frac1{n+1}$

Thay vào

$$D<1-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1{n}-\frac1{n+1}=1-\frac1{n+1}<1$$

Gọi $ABC$ là tam giác bất kì nội tiếp $(O,R)

$D$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ và $E$ là trung điểm $BC$

Đặt $OE=x\Rightarrow CE=\sqrt{R^2-x^2}$

Dễ thấy

$$S_{ABC}\leq S_{DBC}=CE\cdot DE=\sqrt{R^2-x^2}\cdot (R+x)=\sqrt{(R+x)^3(R-x)}$$

$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{(R+x)(R+x)(R+x)(3R-3x)}\leq\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{R+x+R+x+R+x+3R-3x}4\right)^4}$$

$$=\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{3R}2\right)^4}=\frac{3\sqrt3 R^2}4$$

Vậy

$$Max\;S_{ABC}=\frac{3\sqrt3 R^2}4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A\equiv D\\R+x=3R-3x\end{matrix} \right.\Leftrightarrow AB=BC=AC$$

*** Cannot compile formula:



\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.28,-2.36) rectangle (5.74,3.78);
\draw [line width=2.pt] (2.72,0.58) circle (2.6461292485439936cm);
\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);
\draw [line width=2.pt] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);
\draw [line width=2.pt] (1.28,2.8)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);
\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (0.8148927000958486,-1.2564547845922895);
\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (4.639419939222375,-1.2414903504865396);
\draw [line width=2.pt] (2.70964642655458,3.2261089931287614)-- (2.7271563196591115,-1.2489725675394145);
\draw (2.24,0.04) node[anchor=north west] {$x$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (1.28,2.8) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (1.42,3.17) node {$A$};
\draw [fill=ududff] (2.72,0.58) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (2.44,0.65) node {$O$};
\draw [fill=xdxdff] (0.8148927000958486,-1.2564547845922895) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (0.38,-1.13) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (4.639419939222375,-1.2414903504865396) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (4.88,-1.29) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (2.70964642655458,3.2261089931287614) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (2.84,3.55) node {$D$};
\draw [fill=uuuuuu] (2.7271563196591115,-1.2489725675394145) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (2.86,-0.91) node {$E$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}



*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Có ít nhất $2$ số trong $3$ số $(x-1),(y-1),(z-1)$ cùng dấu (bằng $0$ thì tính là dấu $+$), giả sử là $(y-1),(z-1)$

Ta có

$$(y-1)(z-1)\geq0\Leftrightarrow yz\geq y+z-1\Leftrightarrow xyz\geq xy+xz-x=x(y+z)-x=x(3-x)-x=-x^2+2x$$

Lại có

$$2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq 2x^2+(y+z)^2+xyz$$

$$\geq 2x^2+(3-x)^2+(-x^2+2x)=2x^2-4x+9=2(x-1)^2+7\geq7$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Xét $1994$ số

$a_1=1$

$a_2=11$

...

$a_{1994}=11..11$ ( $1994$ số $1$)

Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại $2$ trong $1994$ số trên có cùng số dư khi chia cho $1993$

Giả sử $2$ số đó là $a_m$ và $a_n$ với $1\leq m < n \leq 1994$

Hiệu $a_n-a_m=11..11\times10^x$ ($y$ chữ số $1,y\geq1$) chia hết cho $1993$

Vì $(10^x,1993)=1$ nên $11..11$ ($y$ chữ số $1$) chia hết cho $1993$

Do đó có đpcm

Kết quả có phải là 2;5;7 đúng không? Có bác nào biết cách làm không?

1a. Gọi $3$ số đó là $a,b,c$ với $a\leq b\leq c$

Ta có $abc=5(a+b+c)$ suy ra $abc$ chia hết cho $5$ mà $a,b,c$ đều là số nguyên tố nên có một số bằng $5$

Mặt khác từ $abc=5(a+b+c)$ ta có $\frac{1}{5}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

Vì $a\leq b\leq c$ nên $\left\{\begin{matrix} ab\geq a^2\\ bc\geq a^2\\ ca\geq a^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \frac{1}{ab}\leq \frac{1}{a^{2}}\\ \frac{1}{bc}\leq \frac{1}{a^{2}}\\ \frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^{2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{1}{5}\leq \frac{3}{a^2}\Leftrightarrow a^2\leq15\Leftrightarrow a\leq3\Rightarrow a\in\left \{ 2;3 \right \}$

Xét các trường hợp

+ $a=2;b=5\Rightarrow c=7$ (nhận)

+ $a=2;c=5\Rightarrow b=7$ (loại vì trái điều kiện)

+ $a=3;b=5\Rightarrow c=4$ (loại vì là hợp số)

+ $a=3;c=5\Rightarrow b=4$ (loại vì là hợp số)

Do đó chỉ có $(2;5;7)$ và các hoán vị thỏa mãn đề bài

1. $S\geq |x+1|+|x+5|+|x+97|+|x+1920|\\=|-x-1|+|-x-5|+|x+97|+|x+1920|\\\geq|-x-1-x-5|+|x+97+x+1920|\\=|-2x-6|+|2x+2017|\\\geq|-2x-6+2x+2017|=2011$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+14=0\\ (-x-1)(-x-5)\geq0\\ (x+97)(x+1920)\geq0\\ (-2x-6)(2x+2017)\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-14$

 

a. Chứng minh $EF=CE+DF$

Chỗ này hình như là $EF=BE+DF$

$b+c=(b+c)(a+b+c)^2\geq (b+c)4a(b+c)=4a(b+c)^2\geq 4a(4bc)=16abc$

Giả sử có $7$ quả cầu giống nhau, mỗi quả cầu tượng trưng cho một vụ vi phạm giao thông

Đặt $7$ quả cầu đó vào $7$ cái hộp (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Rõ ràng số cách đặt quả cầu cũng là số cách để phân bố $7$ vụ vi phạm trong một tuần.

Số cách đặt quả cầu là $\overline{C_{7}^{7}}=C_{7+7-1}^{7-1}=1716$, giải tương tự ở đây : http://diendantoanho...h-đặt/?p=651777

Mỗi ngày xảy ra một vụ tai nạn tương đương với bỏ $7$ quả cầu vào $7$ cái cái hộp (mỗi hộp $1$ quả cầu). Có $1$ cách đặt như vậy.

Do đó xác suất cần tính là $\frac1{1716}$

Bài toán:

                 Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=5.$ Tìm min: $F=3x^2+3y^2+z^2$

Ta tìm cách biến đổi biểu thức $F$ sao cho xuất hiện giả thiết

$F=mx^2+\frac{z^2}{2}+my^2+\frac{z^2}{2}+(3-m)(x^2+y^2)\\\geq 2\sqrt{mx^2.\frac{z^2}{2}}+2\sqrt{my^2.\frac{z^2}{2}}+2(3-m)xy\\\geq\sqrt{2m}xz+\sqrt{2m}yz+2(3-m)xy,\forall m\in(0;3)$

Để có thể áp dụng được giả thiết thì ta phải tìm hằng số $m$ sao cho $\sqrt{2m}=2(3-m)$ và $m\in(0;3)$

Dễ dàng tìm được $m=2$

Do đó $F\geq\sqrt{2m}(xy+yz+xz)=10$

Trong phòng họp có n người (n>=3) sao cho mỗi người quen với ít nhất 2 người khác.Cmr có thể chọn ra trong số đó một số người để xếp ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi gần 2 người quen.

Xếp $n$ người trong phòng theo hàng dọc theo quy tắc sau :

B1. Chọn một người bất kì đứng đầu hàng. Đánh số $1$ cho người đó.

B2. Chọn một người quen với người đứng đầu hàng và xếp người đó vào cuối hàng. Đánh số $2$ cho người đó.

B3. Chọn một người trong phòng sao cho quen với người đang đứng cuối hàng, không tính người đứng liền trước người đứng cuối hàng. Ta luôn tìm được một người như vậy bởi mỗi người trong phòng quen với ít nhất $2$ người khác.

* Nếu người đó chưa đứng vào hàng thì xếp người đó vào cuối hàng và đánh số $i$ là vị trí đứng cho người đó.

* Nếu người đó đã đứng vào hàng, giả sử chỉ số của người đó là $i$ thì rõ ràng từ người $i$ đến người đứng cuối hàng là nhóm người cần chọn. Kết thúc bài toán ở đây.

B4. Lặp lại bước 3 cho đến khi đủ $n$ người trong hàng hoặc tìm được nhóm người cần chọn.

B5. Đến bước này nếu đã tìm được nhóm người cần chọn thì kết thúc việc xếp. Nếu ta vẫn chưa chọn được nhóm người phù hợp thì : Hiển nhiên ta có người đầu hàng quen với người thứ $2$, mà mỗi người trong phòng đều quen với ít nhất $2$ người khác nên tồn tại một người có chỉ số $i$ trong hàng quen với người đầu hàng. Rõ ràng từ người đầu hàng đến người thứ $i$ là nhóm người cần chọn. Ta kết thúc bài toán ở đây.

Sau khi hoàn thành xong cách xếp ta luôn tìm được nhóm người thỏa mãn đề bài. Bài toán được giải quyết.

P/s : Ghi nó dài thế thôi chứ ý tưởng cũng không có gì khó đâu bạn chịu khó đọc nha

Viết mỏi tay lắm đấy hay thì like cho mình mừng nhé. Có chỗ nào không hiểu hoặc thấy mình làm sai thì bạn trả lời ở dưới nha

a) Mỗi người có $4$ lựa chọn nên số cách xếp là $3^4=81$ cách

Bài toán mở rộng : Có bao nhiêu cách xếp $n$ người khác nhau lên $k$ toa tàu (mà không nhất thiết toa nào cũng có người, coi như số người trong $1$ toa không giới hạn, hai cách xếp giống nhau là $2$ cách xếp có những người ở toa giống nhau thì giống nhau và chỗ ngồi của họ cũng giống nhau)

Nếu xếp $n$ người thành hàng ngang rồi đặt $k-1$ vách ngăn để chia $n$ người thành $k$ nhóm (hai vách ngăn có thể đặt sát nhau, nghĩa là không nhất thiết nhóm nào cũng có người) thì đó là một cách xếp.

Vì với mỗi vách ngăn có $n+1$ cách chọn, và các vách ngăn có thể đặt sát nhau (ta coi như đặt cùng một vị trí), nên số cách đặt vách ngăn là tổ hợp lặp chập $k-1$ của $n+1$

Mặt khác, để xếp $n$ người thành hàng ngang thì ta có $A_{n}^{n}$ cách chọn.

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $A_{n}^{n}.\overline{C_{n+1}^{k-1}}=A_{n}^{n}.C_{n+k-1}^{k-2}$

Áp dụng với $n=4;\;k=3$ có kết quả

Có 10 quả cầu được đặt vào 10 cái hộp khác nhau ( không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu )

Hỏi có bao nhiêu cách đặt khác nhau nếu các quả cầu giống hệt nhau ??

Một cách khác cho bài toán : Có bao nhiêu cách chia $n$ đồ vật giống nhau cho $p$ người (không nhất thiết người nào cũng nhận được đồ vật)

Nếu ta đưa trước cho mỗi người $1$ đồ vật thì bài toán trở thành : Có bao nhiêu cách chia $n+p$ đồ vật giống nhau cho $p$ người mà mỗi người có ít nhất $1$ đồ vật.

Lúc này, nếu ta đặt các đồ vật ở cạnh nhau và đặt $p-1$ vách ngăn thì các đồ vật sẽ được chia thành $p$ nhóm, rõ ràng đó là một cách chọn cần tìm.

Số cách đặt $1$ vách ngăn là $n+p-1$, nên số cách đặt vách ngăn sẽ là $C_{n+p-1}^{p-1}$ và đó là đáp án của đề bài

Áp dụng với $n=10;\;p=10$ ta có $C_{10+10-1}^{10-1}=\boxed{92378}$