$(2x+y)(2x+z)=\frac{1}{yz}(2xz+yz)(2xy+yz) \leq \frac{1}{4yz}. 4(xy+yz+xz)^2=\frac{1}{yz}$. Từ đó $\sum_{cyc}\frac{1}{4x^2-yz+2} \geq xy+yz+zx =1$
- Element hero Neos, Kagome và LinhToan thích
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 15-10-2016 - 15:21
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 15-10-2016 - 14:57
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 13-10-2016 - 20:24
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 06-08-2016 - 12:28
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 06-08-2016 - 12:08
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 06-08-2016 - 11:59
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:Cho a,b,c là các sô thực không âm. Chứng minh rằng
$\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}\geq 3$
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 04-08-2016 - 23:26
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 04-08-2016 - 18:18
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 04-08-2016 - 16:56
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 04-08-2016 - 16:30
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 03-08-2016 - 23:52
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 27-07-2016 - 20:55
Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh :
$$\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+x)(y+z)}{4y}+\frac{(x+z)(z+y)}{4z}\geq x+y+z$$
$\Leftrightarrow$ $\frac{x(x+y+z)+yz}{x}+\frac{y(x+y+z)+xz}{y}+\frac{z(x+y+z)+xy}{z} \geq 4(x+y+z)$ $\Leftrightarrow$ $\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z} \geq x+y+z$. Sử dụng AM-GM ta có: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x} \geq 2y$. Tương tự ta có đpcm.
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 27-07-2016 - 16:35
Bài toán 85': Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với điểm $P$ bất kì, $AP, BP, CP$ thứ tự cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $D, E, F$. Gọi $L, L'$ thứ tự là điểm Lemoine của $\triangle ABC, \triangle DEF$. Khi đó $P, L, L'$ thẳng hàng.
Chứng minh: $AL$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $A'$. $A'P$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $D'$. $AA'$ là đường đối trung của tam giác $\triangle ABC$ nên $(AA'BC)=-1$. Ta biết rằng phép nghịch đảo bảo toàn tỉ số kép, mặt khác $AD, BE, CF, A'D'$ đồng quy tại $P$, nên $(DD'EF)=(AA'BC)=-1$, do đó $DD'$ đi qua $L'$. Định nghĩa tương tự với $B', E'$ thì $EE'$ đi qua điểm $L'$. Gọi $K$ là giao điểm của $AE'$ và $BD'$
Bây giờ áp dụng định lí Pascal cho bộ 6 điểm đồng viên $\begin{pmatrix} A & B' & D' \\ B & A' & E' \end{pmatrix}$ ta có $L, P, K$ thẳng hàng, lại áp dụng định lí Pascal cho bộ 6 điểm đồng viên $\begin{pmatrix} A & D' & E \\ B & E' & D \end{pmatrix}$ ta có $K, P, L'$ thẳng hàng. Ta có đpcm.
$\boxed{\text{Lời giải bài toán 86}}$ $AI$ cắt $CD$ tại $F$. Một tính chất đặc trưng của tứ giác ngoại tiếp đó là $\widehat{AID}+\widehat{BIC} = 180^{\circ}$. Do đó $\widehat{FID}=\widehat{CIB}$, suy ra hai góc $\widehat{CIF}$ và $\widehat{BID}$ có chung đường phân giác trong. Từ đó ta có đpcm.
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 27-07-2016 - 13:29
$\boxed{\text{Lời giải bài toán 85}}$
$AP, BP, CP$ cắt $(ABC)$ thứ tự tại điểm thứ hai $X, Y, Z$. Đương nhiên dễ thấy rằng $\triangle XYZ$ và $\triangle DEF$ có các cạnh tương ứng song song và có tâm vị tự là $P$. Do đó giả sử gọi $L$ là điểm Lemoine của $\triangle XYZ$ thì điểm Lemoine của $\triangle DEF$ thuộc $PL$. Do $A, B, C, P$ cố định nên $X, Y, Z$ cố định hay $L$ cố định nên $PL$ cố định, ta có đpcm
P/s: Thầy có thể tiếp tục giúp em được không ạ?
Gửi bởi Ngockhanh99k48 trong 20-07-2016 - 10:22
$(x+1+2y)[2(x+1)^2-y(x+1)+2y^2]=0$mình biết là nó có nhân tử như vậy như bị rối ở chỗ phân tích pt 2 thành pt tích ấy. Bạn phân tích giúp mình đc ko?
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học