Gọi $O, I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $\triangle ABC, \triangle DEF$. Do $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có các cạnh tương ứng song song nên $AD, BE, CF$ đồng quy tại tâm vị tự $H$. Khi đó ta cũng có $I, H, O$ thẳng hàng. Đường thẳng qua $D, E, F$ song song $PA, PB, PC$ đồng quy tại $L$ và ta có $P, H, L$ thẳng hàng. Gọi $k = \frac{HD}{HA}$, ta có $k$ cố định. Do đó $\frac{DL}{DQ} = \frac{EL}{EQ} = \frac{FL}{FQ} = k$. Từ đó ta suy ra $D, E, F$ thuộc đường tròn Apollonius ứng với tỉ số $k$ của đoạn thẳng $LQ$. Ta có ngay $I \in LQ$. Khi đó $ID$ là tiếp tuyến của $(DLQ)$ nên nếu gọi $R$ là bán kính $(DEF)$ thì $\frac{ID}{IQ} = \frac{DL}{DQ} = k$, do đó $Q \in (I; \frac{R}{k})$. Suy ra $IL = \frac{ID^2}{IQ} =kR$. Từ đó ta tính được $OP = IL.\frac{OH}{HI} =k^2R$ hay $P \in (O;k^2R)$. Mặt khác dễ thấy tiếp tuyến tại $Q$ của $(I; \frac{R}{k})$, tiếp tuyến tại $L$ của $(I; kR)$ và tiếp tuyến tại $P$ của $(O;k^2R)$ song song nên PQ đi qua tâm vị tự $K$ của $(I; \frac{R}{k})$ và $(O; k^2R)$, hay $PQ$ đi qua điểm đối xứng với $H$ qua trung điểm $OI$.
- Zaraki, canhhoang30011999, quanghung86 và 5 người khác yêu thích