ThachAnh

Cho x,y,z thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm min: $A=\frac{x^{3}}{(1-x^{4})^{2}}+\frac{y^{3}}{(1-y^{4})^{2}}+\frac{z^{3}}{(1-z^{4})^{2}}$

Cho x,y,z,t t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$ .Tìm min: xy + xz + xt + yz + yt + 3zt

Cho 2 số thực không âm x,y t/m: x+y=2. Tìm max,min của 

$P=3(x^{4}+y^{4})+2x^{3}y^{3}-3$

$Q=(x^{3}+2)(y^{3}+2)$

Bài 8: Cho $x,y,z\geq 0 ; x+y+z=1.$

CM: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$

Bài toán này có 2 cách "gần gũi" với học sinh THCS hơn, mình xin được bổ sung ^^

Cách 1 : Ta có bđt cơ bản: (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y) $\leq$ xyz <=> (1-2x)(1-2y)(1-2z) $\leq$ xyz 

Mặt khác: $xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}=\frac{1}{27} => (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

<=> 1+4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)-8xyz $\leq \frac{1}{27}$ => $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$ (đpcm)

Cách 2: Trong 3 số $x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}; z-\frac{1}{3}$ tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Giả sử đó là:$ x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}$

ta có: $(x-\frac{1}{3})(y-\frac{1}{3})\geq 0$ => $xy+\frac{1}{9}\geq \frac{1}{3}(x+y) => xyz+\frac{z}{9}\geq \frac{1}{3}z(x+y) => -2xyz\leq \frac{2z}{9}-\frac{2}{3}z(x+y)$ 

=> $xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy$

Mà: $\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy\leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(1-z)+\frac{1}{4}(1-z)^{2}=-\frac{1}{12}(z-\frac{1}{3})^{2}+\frac{7}{27}\leq \frac{7}{27}$

=> ĐPCM 

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

Bằng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng cm được bđt cơ bản sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (với $xy\geq 1$)

Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$ (1)

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}\geq 2.\frac{2}{1+abc}$

=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$ (đpcm)

Bài 1,2,4 ạ !!!!
( trong ảnh ạ )

Bài 2: 

Ta biến đổi:

P=$x^{2}+ 10(y^{2}+z^{2})+(4y^{2}-4y+1)+ 2(2y-4\sqrt{y}+1)-3$

<=> $P=(\frac{x^{2}}{2}+8y^{2})+(\frac{x^{2}}{2}+8z^{2})+ 2(y^{2}+z^{2})++(2y-1)^{2}+2(\sqrt{2y}-1)^{2}-3$

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số ko âm có:

$\frac{x^{2}}{2}+8y^{2} \geq 4xy$ 

$\frac{x^{2}}{2}+8z^{2}\geq 4xz$

$2(y^{2}+z^{2})\geq 4zy$

Suy ra: $P\geq 4(xy+yz+xz)+(2y-1)^{2}+2(\sqrt{2y}-1)^{2}-3$ >= 6 

1. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. CMR:
$\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geq \frac{3}{4}$
 

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ko âm, ta có: $\frac{x^{3}}{(y+1)(z+1)}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}=\frac{3x}{4}$ 

Tương tự có: $\frac{y^{3}}{(x+1)(z+1)}\geq \frac{3y}{4}$ ;  $\frac{z^{3}}{(x+1)(y+1)}\geq \frac{3z}{4}$

Suy ra $\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z)-\frac{3}{4}$

mà xyz=1 -> $x+y+z\geq \sqrt[3]{xyz}=1$ 

vậy ta có đpcm.

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x^3(y^2+3y+3) = 3y^2 (1)\\ y^3(z^2+3x+3) = 3z^2 (2)\\ z^3(x^2+3x+3) = 3x^2 (3)\end{matrix}\right.$

Chia 2 vế pt(1) cho y^2, chia 2 vế pt(2) cho z^2, chia 2 vế pt(3)  cho x^2. Có Hpt <=> $\left\{\begin{matrix}1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^{2}}=\frac{3}{x^{3}}\\1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{2}}=\frac{3}{z^{3}}\\ 1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^{2}}=\frac{3}{y^{3}}\end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z >0 $ thỏa :

$\left\{\begin{matrix}x^2+xy+\dfrac{y^2}{3}=25 (1) \\\dfrac{y^2}{3}+z^2=9 (2) \\ z+xz+x^2=16 (3) \end{matrix}\right.$

Tính $P=xy+2yz+3xz

Lấy (2)+(3)-(1), có:$ (\frac{b^{2}}{3}+c^{2})+(c^{2}+ac+a^{2})=a^{2}+ab+\frac{b^{2}}{3}$

-> 2c^{2}=a(b-c).

Từ đó suy ra: $P^{2}-12(\frac{b^{2}}{3}+c^{2})(c^{2}+ac+a^{2})=0$

=> P^2= 12.9.16 => P= 24. căn (3)

Tìm số nguyên$ x,y$ nhỏ hơn 2 sao cho $xy - 1$ chia hết cho $(x-1)(y-1)$ 

Ta có: xy-1=(x-1)y + (y-1) $\vdots$ (y-1) => (x-1) $\vdots$ (y-1) (1)

Biến đổi tương tự, có: xy-1=(y-1)x+(x-1) $\vdots$ (x-1) => (y-1) $\vdots$ (x-1)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x-1=y-1 hoặc x-1=-(y-1)

đến đây dễ rồi, bạn tự giải tiếp nhé!     

Với a,b là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Cmr: $ \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}+\frac{b^{3}+5}{b^{3}(a+c)}+\frac{c^{3}+5}{c^{3}(a+b)}\geq 9$

Cũng đặt như trên ta được:

$\left\{\begin{matrix} &a^{5}+b^{5}=123 \\ &ab=1 \end{matrix}\right.$

Thay $a=\frac{1}{b}$ vào phương trình đầu ta có:

$\frac{1}{b^{5}}+b^{5}=123 \Leftrightarrow b^{10}-123b^{5}+1=0 \Rightarrow t^{2}-123t+1=0$

Đến đây thì bạn phải tự giải bằng tay vì nghiệm rất lẻ

Thật ra hướng này mình đã nghĩ từ đầu rồi cơ, nhưng mà mình đã thử denta rồi, xem chừng không có hi vọng,bậc cao quá , làm không ra hướng này rồi mình mới lên đây hỏi các bạn đấy chứ, mình muốn tham khảo các bạn xem có hướng nào hiệu quả hơn cho bài toán này không.

okie   đặt cây đầu tiên là a; cây thứ 2 là b

ta có a^5 + b^5 =123 và ab=1

giải hệ là đc ban 

hic  . bạn ơi, đặt như bạn mình đã đặt từ lâu lắm rôi, vì không giải đk cái hệ đó nên mình mới phải nhờ các bạn trên diễn đàn giải giúp nè.

$đặt \left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )=a \left ( \sqrt{x^{2}+1}+x \right )=b ta có a^{5}+b^{5}=123 và ab=1$

Bạn ơi đặt như bạn tớ cũng làm rồi nhưng làm không ra bạn ạ. Bạn có thể giải chi tiết hơn cách này được không?

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

             $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abc< 2$

đề của bạn có thiếu dữ kiện a+b+c=2 không vậy?