le truong son

 

 

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $(a-b)^2=a+b+2$. Chứng minh rằng $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3}) \leq 9$.

 

$(a-b)^2=a+b+2=>a^2+b^2+a+b=2(a+1)(b+1)$=>$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=2$

$A=\left ( 1+\frac{a^3}{(b+1)^{3}} \right )\left ( 1+\frac{b^3}{(b+1)^{3}} \right )=9+\frac{a^3b^3}{(a+1)^{3}(b+1)^{3}}-6\frac{ab}{(a+1)(b+1)}$

Đặt $t=\frac{ab}{(a+1)(b+1)}$ , dễ thấy $t^3-6t=t(t^2-6)\leq 0$ => đpcm

Đây bn: http://diendantoanho...z-2y2fracx-2z2/

Mở rộng cho bài 3: 

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Chứng minh:

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geq xy+yz+xz$ 

 Có trong quyển sáng tạo BĐt của PKH, mình xin trình bày lại cách giải:

Áp dụng BĐT holder: $(\sum \sqrt[3]{x})^3(\sum x)^5\geq (\sum x^{\frac{3}{4}})^8$

Đặt $x^\frac{3}{4}=a;y^\frac{3}{4}=b;z^\frac{3}{4}=c$

Cần chứng minh: $(a^3+b^3+c^3)^8\geq 3^5(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)^3$(1)

Chuẩn hóa: $a^3+b^3+c^3=3$ =>(1)<=>$3\geq \sum a^4b^4(2)$

Ta có:$\sum a^4b^4=\sum a^3b^3.ab\leq \sum a^3b^3.\frac{4-c^3}{3}= \frac{\sum 4a^3b^3-3a^3b^3c^3}{3}$

(2)=>$4\sum a^3c^3-3a^3b^3c^3\leq 9<=>4(\sum a^3b^3)(a^3+b^3+c^3)\leq (a^3+b^3+c^3)^3+9a^3b^3c^3<=>\sum a^9+3a^3b^3c^3\geq \sum a^3b^3(a^3+b^3)$(hnđ)

=>đpcm

Có tồn tại n thuộc N $n^2+n+2 \vdots 49$ hay không?

4A= $(2n+1)^2+7$

4A chia hết 49=> 4A chia hết 49

Ta có : A chia hết 7=>$(2n+1)^2 chia hết 7=>$(2n+1)^2 chia hết 49

=>4A không chia hết 49

=>A không chia hết 49

Cho ba số thực $a,b,c\in[0;1]$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1+b+ac}+\frac{b}{1+c+ab}+\frac{c}{1+a+bc}\leq 1$

Ta có: $(a-1)(b-1)\geq 0=>ab+c+1\geq a+b+c$=>$\sum \frac{a}{1+b+ac}\leq \sum \frac{a}{a+b+c}=1$