winds

bạn có kỉ yếu Olympic Toán sinh viên lần thứ 21 không  vậy?

 

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u₁ ,u₂ ,...,u_n là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v₁ = a₁₁u₁ ,

v₂ = a₂₁u₁ + a₂₂u₂,

v₃ = a₃₁u₁ + a₃₂u₂ + a₃₃u₃,

. . .

v_n = a_n1u₁ + a_n2u₂ + . . . a_nnu_n

là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a₁₁a₂₂...a_nn  khác 0

 

cho  a_11...a_nn khác 0. Nếu c₁v₁ + ... +c_nv_n =0 , thì thay v₁ , ...,v_n qua u₁ ,..., u_n, rồi nhóm hệ số theo các vecto u_{1 ,..,}  u_{n .}Xét hệ số của u_n ta suy ra c_n = 0 .Tương tự , cứ xét ngược trở lại, ta có c_n-1 =0,...,c₁ = 0.

  Nếu  a_11...a_{nn = 0} , thì chọn i bé nhất để aii = 0.Khi đó u₁ biểu diễn tuyến tính qua v₁ ,... Cứ thế ta có u_i-1 biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 . Sử dụng hệ thức thứ i , ta suy ra v_i biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 .Do đó hệ  v₁ , ...,v_n phụ thuộc tuyến tính .