thaolhpk96

Ta có: $C_{n+10}^3-C_{10}^3-C_n^3=1725$

a) Phương tích: $AE^2=AF^2=AB.AC \Rightarrow AE=AF=\sqrt{AB.AC}=const$

$\Rightarrow E,F \in (A,\sqrt{AB.AC})$

b)Vẽ tia Ex là tia đối của EA

$\Rightarrow \widehat{E'Ex}=\widehat{EFE'}$

5 điểm A,E,O,I,F cùng thuộc đường tròn đường kính AO  $\Rightarrow$ AEIF nội tiếp $\Rightarrow  \widehat{EAI}=\widehat{EFE'}$

$\Rightarrow  \widehat{EAI}=\widehat{E'Ex}$ $\Rightarrow$ đpcm

c) E,F,N thẳng hàng

$AN.AO=AE^2=AB.AC$ $\Rightarrow$ N cố định

I cố định

$\Rightarrow$ tâm (NOI) thuộc trung trực NI cố định 

Đặt $1+p+p^2+p^3+p^4=n^2$, n $\in$ N $\Leftrightarrow4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4n^2$

Ta có: $ 4p^4+4p^3+p^2<4+4p+4p^2+4p^3+4p^4<4p^4+4p^3+5p^2+4p+4 (1)$

           $\Leftrightarrow (2p^2+p)^2<(2n)^2<(2p^2+p+2)^2$

           $\Rightarrow 2n=2p^2+p+1\Rightarrow 4n^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1 (2)$

Từ (1) & (2)$ \Rightarrow p^2-2p-3=0  \Rightarrow  p=3$