Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Ego

Đăng ký: 26-10-2015
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi VMO tỉnh Đồng Nai

13-11-2016 - 22:48

Bài 1 cũng đâu đến phức tạp nhờ
Gọi $n$ nghiệm đã cho là $x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}$. Với $\sum_{k = 1}^{n}x_{k} = -a_{1}$ và $\sum_{i \neq j}x_{i}x_{j} = a_{2}$.
Ta cần chứng minh $-a_{1}\le x_{k} \le a_{1} + 2 \quad \forall k$
Ta có $x_{i}^{2} \le \sum_{k = 1}^{n}x_{k}^{2} = a_{1}^{2} - 2a_{2} \le a_{1}^{2}$ nên $-a_{1} \le x_{i} \le a_{1}$


Trong chủ đề: Tính $lim\frac{S_n}{n}$

16-10-2016 - 21:51

Đề bài hầu như không dùng tới dữ kiện $u_{2k}$ nên ta không cần định nghĩa chúng. Định nghĩa lại như sau $v_{1} = 1, e^{v_{n + 1}} = e^{v_{n}} - v_{n}$ và $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k}$

  • Ta sẽ chứng minh $e^{v_{n}}$ hội tụ
    Thật vậy, xét hàm $f(x) = x - \ln(x)$ trên $(0; +\infty)$; chứng minh được $f(x) \ge 1$. Ta có $e^{v_{n + 1}} = e^{v_{n}} - \ln(e^{v_{n}})$ nên ta có $e^{v_{n + 1}} \ge 1$
    Giả sử $x > y$, xét $f(x) - f(y) = x - y - (\ln(x) - \ln(y)) = x - y - \frac{x - y}{t} = (x - y)\left(1 - \frac{1}{t}\right)$ với $t\in (x; y)$. Có $\frac{1}{2} < 1 \le x < t$ nên $\left|1 - \frac{1}{t}\right| < 1$. Theo nguyên lí ánh xạ co thì $e^{v_{n}}$ hội tụ và nó hội tụ về $1$.

Ta có $S_{n + 1} - S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}(n + 1 - k)v_{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1}(n - k)v_{k} = \sum_{k = 1}^{n}v_{k}$
Mặt khác, $v_{n} = e^{v_{n + 1}} - e^{v_{n}}$ nên $\sum_{k = 1}^{n}v_{k} = e^{v_{n + 1}} - e_{v_{1}} = e^{v_{n + 1}} - e \to 1 - e$ khi $n \to +\infty$
 


Trong chủ đề: Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_...

16-10-2016 - 19:00

Ý tưởng bài này rất rõ ràng. Từ dãy truy hồi ta thu được $\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n + 1}} = \frac{x_{n}^{2016}}{x_{n + 1}}$
Lấy tổng ta thu được $\lim_{n\to +\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2016}}{x_{i + 1}} = \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{x_{n + 1}}$
Lại dễ dàng chứng minh được dãy $x_{n}$ là dãy vô cùng lớn nên ta kết luận $\lim_{n\to +\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2016}}{x_{i + 1}} = 1$


Trong chủ đề: Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Bắc Ninh 2016-2017

12-10-2016 - 22:36

Câu 3. Từ CTTH, có $a_{n + 1} - 27 = (a_{n} - 27)(2a_{n} + 1)^{2}$. Do đó $a_{n} - 27 = (a_{1} - 7)\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} = 7\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2}$. Do đó $a_{n} + 1 = 7\left[\left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4\right]$.
Xét $p\in \mathbb{P}\mid \left(\prod_{k = 1}^{n - 1}2a_{k} + 1\right)^{2} + 4$ (dĩ nhiên ta thấy chỉ có $p$ lẻ). Ta có $\left(\frac{-4}{p}\right) = 1 \iff \left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ hay $p \equiv 1\pmod{4}$
Do đó số cần tìm là $7$.

P.S: Lâu quá không lên :3


Trong chủ đề: Chứng minh rằng: b-g=B-G.

08-08-2016 - 22:11

Bài này là một bổ đề đẹp, được dùng trong kì VMO 2014 (nếu mình không nhầm). Sau đó là nằm trong đề HSG lớp 9 của Titan Education năm 2014.
Lời giải của mình năm ấy thế này, bạn tham khảo thử.
Dĩ nhiên số học sinh là $1$ thì không có gì để nói. Ta sẽ xét số học sinh từ $2$ trở lên
i) Với số học sinh là hai, ta xét là TRAI - TRAI, GÁI - GÁI, GÁI - TRAI thì thấy khẳng định bài toán đúng.
ii) Bây giờ giả sử bài toán đúng với số học sinh $n$. Bây giờ ta thêm một em học sinh vô. Vai trò mấy em này như nhau, nên giả sử ta thêm bạn nữ (:3) vào
Khi đó $B' = B$ và $G' = G + 1$.
a) TH1. Ta nhét em ấy vào giữa GÁI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Khi đó $B' - G' = B - G - 1 = b - g - 1 = b' - g'$.
b) TH2. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - GÁI thì $b' = b$ và $g' = g + 1$. Tương tự trên ta cũng có đpcm.
c) TH3. Ta nhét em ấy vào giữa TRAI - TRAI thì $b' = b - 1$ và $g' = g$. Lúc đó $B' - G' = B - G - 1 = b - 1 - g = b' - g'$. Xong.