bovuotdaiduong

Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $a<bc$ và $1+a^{3}=b^{3}+c^{3}$. CMR $1+a<b+c$

1)Cho phương trình: $x^2-2x+2-m=0$ Tìm m thỏa $2x_{1}^3+(m+2)x_{2}^2=5$

ĐK: $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 1$

Theo định lý Viete ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=2-m \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=2-x_2\\ m+2=4-x_1x_2 \end{matrix}\right.$

Thay vào đẳng thức đề bài ta được:

$(x_2-1)^2(x_2^2-2x_2+11)=0 \Leftrightarrow x_2=1$

Thay vào pt => $m = 1$ (t/m)

pt <=> $25(1+x^3)+5\sqrt{1+x^3}-(2x^2+4)(2x^2+5)=0$

Đặt $a=\sqrt{1+x^3}, b=2x^2+4$

=> $25a^2+5a-b(b+1)=0$

<=> $(5a-b)(5a+b+1)=0$

Trường hợp $5a=b$ thì giải theo cách của bạn Baoriven, TH còn lại vô nghiệm

Bài của bạn chính là một dạng cảu định lý con bướm nhé bạn!

Bạn gợi ý được không, mình vẫn chưa tìm ra được cách giải

Dễ thấy $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ và $x=y=z=1$ không phải là nghiệm

Nếu $x,y,z  \neq 0$ và $x,y,z  \neq 1$ thì $4y^2 = \frac{x}{x-1} >0 \Rightarrow x>1$ hoặc $x<0$

Tương tự => $x,y,z>1$ hoặc $x,y,z<0$

TH1: Giả sử $x \geq y \geq z > 1$

$\Rightarrow \frac{z}{z-1} \geq \frac{x}{x-1} \geq \frac{y}{y-1}$

$\Leftrightarrow z \leq x \leq y$ (trừ các vế cho 1 rồi nghịch đảo)

=> $x=y=z$. Thay vào $(1)$ => $x=y=z=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

TH2: Giả sử $z \leq y \leq x < 0$

Giải tương tự => $x=y=z=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0$, $x=y=z=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ và $x=y=z=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix}
y+2=(3-x)^3\\
(2z-y)(y+2)=9+4y\\
x^2+z^2=4x \\
z \geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải các hệ pt sau:

a/ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2y=4\\ 2x+y+xy=4 \end{matrix}\right.$

b/ $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x=-6\\ y^2+xy=-1 \end{matrix}\right.$

CMR với a,b là các số tự nhiên, nếu a, b đều không chia hết cho 5 thì $a^2+ab+b^2$ không chia hết cho 5.

CMR với a,b là các số tự nhiên, nếu $10|a^2+b^2+ab$ thì $100|a^2+b^2+ab$

Cho $x, y, z>0$ thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. CMR $\sqrt{x}+ \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq \frac{3}{2} \sqrt{xyz}$

Lấy vế cộng vế ta đk :$x^{2}(2+m)+x(m+1)+1=0$ (1)

Nghiệm của pt (1) sẽ trùng vs nghiệm của hpt trên

Xét $\Delta _{(1)}=(m-1)^{2}-4(2+m) =m^{2}-6m-7 =(m+1)(m-7)$

Để hpt có nghiệm <=>$\Delta _{(1)}\geq 0$

                              => $m\leq -1$ hoặc $m\geq 7$

Bạn ơi kết quả sai rồi. Khi thế $m=-3$ hay $m=8$ thì hệ vô nghiệm. Bạn xem cách giải này đi. Bạn có phát hiện ra chỗ sai trong lời giải của bạn không? Mình không biết nó sai ở đâu nữa.

http://diendantoanho...-2015/?p=550577

Tập hợp các giá trị của $m$ để pt $x^2+(4m+1)x+2(m-4)=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=17$

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD, có $AB=BC=4\sqrt{3}cm, CD=4cm$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là?

Bài này từng xuất hiện trong nhiều đề thi trong đó THPT chuyên năng khiếu Trần Phú,Hải Phòng.Bạn có thể sử dụng 1 cách tự nhiên hơn là xét delta

Cách của bạn dark magician cũng gợi ý cho mình cách khác là đặt $\frac{a+b+c}{b-a}=k$ rồi tìm ra được $k=3$

Đặt $P(x)=ax^{2}+bx+c>0, \forall x \in \mathbb{R}$

       $\Rightarrow P(-2)\geq 0\Leftrightarrow 4a-2b+c\geq 0\Leftrightarrow a+b+c\geq 3b-3a\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b-a}\geq3$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow P(-2)=0\Leftrightarrow 4a-2b+c=0\Leftrightarrow b=c=4a$

Vậy $minP=3\Leftrightarrow b=c=4a$

Làm sao bạn nghĩ ra con số -2 để thế vào vậy?