Kira Tatsuya

$2x^2-10x+2=(x^2-4x-6)\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{2x^2-10x+2}{x^2-4x-6}-1=\sqrt{x-1}-1\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-4)}{x^2-4x-6}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\Leftrightarrow x=2; \frac{x-4}{x^2-4x-6}=\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}$, phần còn lại có nghiệm rất lẻ, không biết có cách xử lí nào không?

1) Dãy này chặn trên bởi $\frac{15}{2}$(quy nạp) và là dãy tăng.

2)$u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n+1}$.Dãy này chặn dưới bởi $1$ và là dãy giảm,bắt đầu từ $u_2$

3)Dãy này bị chặn trên bởi $2$(quy nạp) và là dãy tăng.

chứng minh dãy tăng hay giảm bằng cách nào ạ ? mình mới học nên không nắm rõ

Áp dụng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$

bài 298:

$\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x+4)}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}$

Dễ thấy có nghiệm là $2$, nếu khác 2, chia cả 2 vế cho $x-2$, ta được :

$\frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\\\Leftrightarrow \left ( \left ( \sqrt{x+2} \right )^2+2 \right )\left ( \sqrt{x+2}+2 \right )=(x-1+2)\left ( \left ( x-1 \right ) ^2+2\right )$

suy ra $x-1=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow x^2-3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

Đối chiếu điều kiện , ta được 2 nghiệm $\boxed{2;\frac{3+\sqrt{13}}{2}}$