lebaominh95199

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

Bài 118: $\sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}-\sqrt{1-x^{2011}}}{\sqrt{1+x^{2011}}+\sqrt{1-x^{2011}}}$

 

Ta thấy x=0,x=1 là nghiệm của phương trình.

Xét $0< x< 1$, ta có:

$PT\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x}}{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}}{\sqrt{1-x^{2011}}}$

Khi đó:$(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x})^{2}=(x+1)^{2}+2\sqrt{(x^{2}+1)(2x)}> (x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x}> x+1$

Tương tự:$(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x})^{2}=(x-1)^{2}-2\sqrt{(x^{2}+1)(2x)}< (x-1)^{2}\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x}< x-1$

Suy ra:$\frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x}}{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x}}> \frac{x+1}{1-x}> \sqrt{\frac{x+1}{1-x}}> \sqrt{\frac{x^{2011}+1}{1-x^{2011}}}$

Vậy x=0 hoặc x=1

P/s: Mình nghĩ các bạn nên giải hết những bài cũ rồi hãy đăng bài mới chứ cứ đăng bài mới miết mà những bài cũ chưa làm thì mình thấy không hay lắm.

Bài 201 nè, mình thấy bài này cũng khá dễ.

ĐKXĐ:$x\leq \frac{2}{3}$

$PT\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}+(\frac{2-3x^{2}}{3})^{2}-\frac{25}{81}+\sqrt{2-3x}-1=0\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})((x+\frac{1}{3})(x^{2}-\frac{8}{9})-\frac{3}{\sqrt{2-3x}+1})=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

(vì theo ĐKXĐ thì $x\leq \frac{2}{3}$ nên hạng tử phía sau luôn nhỏ hơn 0)

Không hiểu sao máy em nhấn vào chữ fx để gõ latex thì không nhập công thức toán học được. Mong BQT nhanh chóng sửa lại.

Nốt bài 3) nè:

ĐKXĐ:$x\geq \frac{-3}{2}$

Đặt $\sqrt{x-\frac{3}{2}}=a;a\geq 0$

$PT\Leftrightarrow a(1+a^{3}-3a)=0$

Từ đây là xong rồi.

Mình xin giải bài 1)

ĐKXĐ:$x\in \mathbb{R}$

$PT\Leftrightarrow x^{2}+2-2\sqrt{x^{2}+2}-3=(\sqrt{x^{2}+2}-3)x\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2}-3)(\sqrt{x^{2}+2}+1)=(\sqrt{x^{2}+2}-3)x\Rightarrow x=\sqrt{7}\vee x=-\sqrt{7}$

Ta đi giải tiếp pt:$\sqrt{x^{2}+2}+1=x$(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của pt là:$S=\left \{ \sqrt{7};-\sqrt{7} \right \}$

ĐKXĐ:$x\geq -1\wedge (y\geq \sqrt{\frac{1}{2}}\vee y\leq -\sqrt{\frac{1}{2}})$

$PT(2)\Leftrightarrow y^{2}-2+(y^{2}-2)(\sqrt{x+1})+y-x-xy+1=0\Leftrightarrow \frac{y^{2}-2}{1+y}=\frac{x-1}{1+\sqrt{x+1}}$ (3)

Đặt $t=y^{2}-1$, ta có:$(3)\Leftrightarrow \frac{t-1}{\sqrt{t+1}+1}=\frac{x-1}{\sqrt{x+1}+1}$

Xét đạo hàm, ta suy ra được $x=y^{2}-1$ (4)

Thay (4) vào (1), ta được:$x^{2}+x+2=(x+2)\sqrt{x^{2}+4x+1}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{(x+2)(x+4)x}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+1}\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1\vee y=-1$

Ta đi chứng minh phương trình$x=\frac{(x+2)(x+4)}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+1}$vô nghiệm.

Ta có:$(x+2)(x+4)-x\sqrt{x^{2}+4x+1}-x=(x^{2}+4x)(1-\frac{1}{1+\sqrt{x^{2}+4x+1}})+8> 0$

Thử lại thấy (x;y)=(0;-1) không thỏa pt (2)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(0;1)

Từ giả thiết, ta có: xy+yz+zx=xyz

$A=\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xyz}=\sum \frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$

Ta có:$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}+\frac{x+y}{8}+\frac{x+z}{8}\geq \frac{3}{4}.(x+y+z)$

Tương tự với 2 phân thức còn lại, ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3

Thật sự là mình không biết cách của mình đã đụng hàng nên mình đành làm cách mới vậy.

Từ giả thiết, ta có: xy+yz+zx=xyz

$A=x+y+z+\sum \frac{xy+yz+zx}{x+yz}$

Ta quy về chứng minh:$\sum \frac{xy+yz+zx}{x+yz}\leq \frac{9}{4}(x+y+z)$

hay:$(x+y+z)\sum \frac{1}{x+yz}\leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{9}{4(x+y+z)}\Leftrightarrow \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{9}{4(x+y+z)}$

Bất đẳng thức này luôn đúng vì:$9(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3.

Nhưng mình vẫn thích cách đầu hơn  

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$ bị nhầm nghen bạn.

Đúng phải là:

 

$(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq 3 \sum \frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \sum (\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{3(2x^{2}+1)})$

Bạn ơi, hình như sai ngay từ đầu rùi. Nếu bạn thay $x=2000;y=\frac{1}{100};z=\frac{1}{20}$ thì$3 \sum \frac {1}{4x^{2}+x+4}> 1$

Cho x thuộc R. Chứng minh:

$-1< \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}< 1$

Cách của mình hơi dài nhưng khá tự nhiên.

Ta có:$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}= \frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}$

Lại có:$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}\leq \sqrt{4x^{2}+4}$

Xét x=0, ta thấy thỏa mãn.

Xét x<0, ta có:$\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}\leq \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}< 0< 1$

Xét x>0, ta có:$\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}\geq \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}> 0> -1$

Vậy suy ra điều phải chứng minh.

Ừ bạn nói đúng, bài đơn giản thật.

Mà bạn viết đề sai rồi, phải là $\sum bc\sqrt{a^{2}+1}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}abc$ mới đúng.

Vì a+b+c+2=abc nên ta có thể đặt:$a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}$ 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$ 

Ta có:$\sum \sqrt{\frac{(x+y)^{2}+z^{2}}{(x+y)^{2}}}= \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \sqrt{\frac{((x+y)^{2}+z^{2})(1^{2}+2^{2})}{(x+y)^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{5}}.\sum \frac{2(x+y)+z}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{5}}.(6+\sum \frac{z}{x+y})\geq \frac{3\sqrt{5}}{2}$

(Áp dụng bất đẳng thức Nesbit)

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Ta có:$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{a(b^{2}+ac)-a^{2}c}{ac+b^{2}}=\frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{1}{2}\sum \frac{a^{2}c}{ac+b^{2}}$

Ta quy về chứng minh:$\sum \frac{a^{2}c}{ac+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}c-a(ac+b^{2})}{ac+b^{2}}\geq -(\frac{a+b+c}{2})$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ac^{2}}{ac+b^{2}}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Điều này luôn đúng vì:$\sum \frac{ac^{2}}{ac+b^{2}}\leq \sum \frac{ab^{2}}{2\sqrt{ab}.b}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

 untitled.bmp   2.4MB   18 Số lần tải

Bài này cũng khá dễ thôi bạn ạ.

Gọi F là giao điểm của DE và AB

Ta có: $\angle FKE=180-\angle KFE-\angle KEF=180-30-30=120$ (1)

Lại có: $\angle FBC=60$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác FKBC nội tiếp.

Dễ dàng ta thấy tứ giác BFDC nội tiếp.

Ta có: $\angle BKC=\angle BFC=\angle BDC$

$\Rightarrow$ tứ giác BKDC nội tiếp $\Rightarrow \angle BKD=\angle BCD=90$ (3) và $\angle BDK=\angle BCA=60$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\angle KBD=90-\angle BKD=30$

Nếu vậy phải là $\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{2z+x+y}$ chứ nhỉ

Ừ, cảm ơn bạn. Mình có nhầm chút xíu, nhưng phần sau thì vẫn đúng. Mình đánh máy lộn ấy mà.

Phần màu đỏ là sao bạn

À, thì ta có:$\sqrt{z.\frac{x+y}{2}}\leq \frac{z+\frac{x+y}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{z+2x+2y}$