bichthuancasio

Chào mọi người, mình xin được chia sẻ vấn đề mình đang băn khoăn.

Như chúng ta đã biết, trong nội dung phần Ứng dụng tính đơn điệu hàm số có tính chất sau:

Nếu hàm $f(x)$ liên tục, đồng biến trên $D$ và $g(x)$ liên tục, nghịch biến hoặc là hàm hằng trên $D$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm trên $D$.

Ý kiến của mình và một vài người bạn thì điều kiện "liên tục" không cần thiết, chứng minh như sau:

Mệnh đề:" Cho hàm số $f(x)$ tăng trên $(a,\,b)$ và $g(x)$ giảm trên $(a,\,b)$. Chứng minh rằng $f(x)=g(x)$ có nghiệm $x_0 \in (a,\,b)$ thì đó là nghiệm duy nhất."

Phần chứng minh:

Nếu $x_0$ là nghiệm, tương đương $f(x_0)=g(x_0)$ với mọi $x\in(a,\,b)$.

Giả sử $x'$ là nghiệm, $x' \in (a,\,b)$ và $x'>x_0$.

Ta được hai điều sau:

+ $f(x')>f(x_0)$ do $f$ đồng biến trên $(a,\,b)$.

+ $g(x')<g(x_0)$ do $g$ nghịch biến trên $(a,\,b)$.

Mà $f(x_0)=g(x_0)$ nên $g(x')<f(x')$. Vì vậy $x'$ không là nghiệm.

Mọi người cùng thảo luận vấn đề này, nếu quan tâm với một số phản ví dụ có thể xem VIDEO này do mình thực hiện.