520

a,b,c dương tùy ý:

ta luôn có :

 $(a+b+c)(ab+bc+ac) \leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$chổ màu dỏ đúng hay sai? cả dấu luôn, vì có 2 đề ngược nhau nên k biết s đây???

Xét hiệu:

$8(a+b+c)(ab+bc+ca)-9(a+b)(b+c)(c+a)=8(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc)-9(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc)=6abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)\leq 0$

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

$x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$.Tìm $min$:

$P=\frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}+\frac{y^9+z^9}{y^6+y^3z^3+z^6}+\frac{z^9+x^9}{z^6+z^3x^3+x^6}$

Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a+b-\frac{2ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq a+b-\frac{2ab(a+b)}{3ab}\geq \frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow \frac{x^{9}+y^{9}}{x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6}}\geq \frac{x^{3}+y^{3}}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{9}+y^{9}}{x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6}}\geq \frac{2}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 2xyz\geq 2$

cho a,c,b, la các số thực dương, thỏa a+b+c=3

CMR: $\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq \frac{3}{2}$

Ta có $\frac{a^{2}b}{2a+b}=\frac{a^{2}b}{a+a+b}\leq \frac{a^{2}b}{3\sqrt[3]{a^{2}b}}\leq \frac{1}{3}(\sqrt[3]{a^{4}b^{2}})\leq \frac{1}{3}(\sqrt[3]{ab.ab.b^{2}})\leq \frac{ab+ab+b^{2}}{9}$

Thực hiện 2 đánh giá tương tự, cồng theo vế ta thu được kết quả

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )\geq 9$

ta có $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$

Nhân 2 bất đẳng thức theo vế ta được điều cần chứng minh

cho a,b,c>0, a+b+c=3

CMR:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$

Ta có $\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}=a-\frac{2ab^{3}}{a+2b^{3}}=a-\frac{2ab^{3}}{a+b^{3}+b^{3}}\geq a-\frac{2ab^{3}}{3\sqrt[3]{ab^{6}}}\geq a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}b^{3}}\geq a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{ab.ab.b}\geq a-\frac{2}{9}(ab+ab+b)$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự, cộng theo vế, vận dụng $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ ta thu được đpcm

bạn xem cách chứng minh này sai ở chỗ nào nhé: 

$\sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{2}\left | a \right |$

\sqrt{1+b^{4}}\geq \sqrt{2}\left | b \right |

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}(\left | a \right |+\left |b \right |)$

Xét 1+a,1+b >0 (trường hợp còn lại tương tự) :

$(1+a)(1+b)\geq \frac{(1+a+1+b)^{2}}{4}$

$\rightarrow \left | 1+a+1+b \right |\geq 3$

Mặc khác: 

$\left | a \right |= \left | 1+a-1 \right |\geq \left | 1+a \right |-\left | 1 \right |$

$\rightarrow \left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | 1+a \right |+\left | 1+b \right |-2\geq \left | 1+a+1+b \right |-2\geq 3-2=1$

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Bạn không thể nào dùng bản đồ tp hồ chí minh mà lại tìm thủ đô Lào. Đồng ý là $1+a^{4}\geq 2a^{2}$ Dấu bằng xảy ra khi a=1 nhưng trong bài này dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$ nên đánh giá  $1+a^{4}\geq 2a^{2}$ là sai. Giống như $1+2\geq 2\sqrt{2}$ thì về lý thuyết nó đúng nhưng dấu "="" không xảy ra. nên khi đánh giá cần đảm bảo dấu bằng

pp của bạn rất hay, nhưng hơi phức tạp, mình muốn biết tại sao b có thể nghĩ ra đc pp này thank!

vì  sao suy ra được :

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$   vậy bạn??

ban đầu mình ép đánh giá: $1+a^{4}\geq x(1+a)^{4}$ đến đây chọn x sao cho dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$. Từ đây mình lập đánh giá ép dấu bằng

Bài 4  $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq a+b+c$

Ta có $\sqrt{a\sqrt{bc}}+\sqrt{b\sqrt{ca}}+\sqrt{c\sqrt{ab}}\leq\sum \sqrt{a\frac{(b+c)}{2}}$

Mà $(\sqrt{a\frac{b+c}{2}})^{2}\leq 3(a\frac{b+c}{2}+b\frac{c+a}{2}+c\frac{a+b}{2})\leq 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$

Lấy căn 2 vế thu được điều phải chứng minh

Bài 3   $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\leq 1$

Bài toán trở thành $\sum \frac{2\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\leq 2$

$\sum \frac{a}{a+2\sqrt{bc}}\geq 1$

Mà ta có $\frac{a}{a+2\sqrt{bc}}\geq \frac{a}{a+b+c}$

Từ đây ta thu được điều cần chứng minh

cho a,b>0. và ab=1

CMR: 

$\sum \frac{a^3}{1+b^2}\geq 1$

Ta có $\frac{a^{3}}{1+b^{2}}=a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{1+b^{2}}\geq a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{2b}\geq a^{3}-\frac{a^{2}}{2}$

Bài toán trở thành tìm min của $a^{3}+b^{3}-(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})$

Ta có $(a+b)^{3}-3ab(a+b)-\frac{(a+b)^{2}}{2}+ab=t^{3}-\frac{t^{2}}{2}-3t+1\geq 1$

$\Rightarrow 2t^{3}-t^{2}-6t\geq 0$

$\Rightarrow 2t(t-2)(2t+3)\geq 0$ (luôn đúng với $t\geq 2$)

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

2) Tìm GTNN của:A = $\frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

                             B = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }+\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

                             C = $\frac{2}{cos^{2}\alpha }+3cot^{2}\alpha$

$C=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+3(\frac{1}{sin^{2}\alpha}-1)=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha}-3$

Ta có $(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha)(\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha})\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$

Từ đây ta suy ra min C

Ở câu này mình có dùng 1 bổ đề: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$ ( bổ đề chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

$A=sin^{2}\alpha.cos^{4}\alpha=(1-cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)=\frac{1}{2}(2-2cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)\leq \frac{1}{2}(\frac{2-2cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha}{3})^{3}\leq \frac{4}{27}$

1) Cho a,b,c,d > 0. Cmr:

a) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{^{\sqrt[3]{abc}}}$

Ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{ab}{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.ab}{b.b.ca}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.a}{b.c.a}}\geq 3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thực hiện 2 đánh giá tương tự, cộng theo vế ta thu được điều phải chứng minh

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. chứng minh: 

$\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}\geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

***Yêu cầu chứng mình bằng phương pháp cosi

Ta có $\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{(\frac{1}{16})^{3}\frac{a^{4}}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

Cộng theo vế ta có $4\geq 4(\frac{1+\frac{a}{8}}{\sqrt[4]{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}})$

$\Rightarrow (1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})\geq (1+\frac{a}{8})^{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$

Thực hiện tương tự, bài toán trở thành tìm min của $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}$

Mà ta lại có $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}\geq 2(1+a)(1+b)$

Bài toán kết thúc

Do dự đoán trước dấu bằng xảy ra khi$a=b=\frac{1}{2}$ nên mình mới có đánh giá như trên

Tìm n $\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $\sqrt{(3+2\sqrt{2})^n}+\sqrt{(3-2\sqrt{2})^n}= 6$

Phương trình trở thành $\sqrt{(2+2\sqrt{2}+1)^{n}}+\sqrt{(2-2\sqrt{2}+1)^{n}}=6$

$\Rightarrow (\sqrt{2}+1)^{n}+(\sqrt{2}-1)^{n}=6$

Đặt $a=(\sqrt{2}+1)^{n}, b=(\sqrt{2}-1)^{n}$

Ta có $\left\{\begin{matrix} a+b=6 & \\ a.b=1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a=3+2\sqrt{2}\Rightarrow n=2$