chaubee2001

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ sau: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha >0\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+12x_{n}}{3x_{n}^{2}+4} \end{matrix}\right.$ $\forall n=1,2,...$

Ta có:

$x_{n+1}- 2 = \dfrac{x_{n}^{3}+12x_n}{3x_n^2+4}-2=\dfrac{x_{n}^{3}-6x_n^2+12x_n-8}{3x_n^2+4}=\dfrac{\left (x_n-2  \right )^3}{3x_n^2+4}$

$x_{n+1} + 2 = \dfrac{\left (x_n+2  \right )^3}{3x_n^2+4}$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}$, ta thấy $f\left ( x_{n+1} \right ) = \dfrac{x_{n+1}-2}{x_{n+1}+2} = \dfrac{\left (x_n-2  \right )^3}{\left (x_n+2  \right )^3} = f^3\left ( x_{n} \right )$

$\Rightarrow f\left ( x_{n} \right ) = f^{3^{n-1}}\left ( x_{1} \right )=f^{3^{n-1}}\left ( \alpha \right )$

Đặt $f^{3^{n-1}}\left ( \alpha \right ) = \beta$ thì $\dfrac{x_n-2}{x_n+2}= \beta \Leftrightarrow x_n = \dfrac{2+2\beta}{1-\beta}$

Vậy $x_n = \dfrac{2+2\beta}{1-\beta}$ với $\beta = \left (\dfrac{\alpha -2}{\alpha+2}  \right )^{3^{n-1}}$

Đặt $\sqrt[3]{2x-1} =t$, vì $x>1$ nên $t>1$. Ta được $x=\dfrac{t^3+1}{2}$.

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

$t^3-2mt+2m-1=0$

$\Leftrightarrow t^3-1+ 2m\left ( 1-t \right ) = 0$

$\Leftrightarrow m= \dfrac{1-t^3}{2\left ( 1-t \right )} = \dfrac{t^2+t+1}{2}$

Vì $t>1$ nên $t^2+t+1 > 1 +1 +1 = 3$, do đó $m>\dfrac{3}{2}$.

Vậy $m>\dfrac{3}{2}$.

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn $4x^{2} + 9y + 3$ và $4y^{2} + 9x + 3$ là số chính phương.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$.

Khi đó, ta có: $(2x)^2 <4x^2+9y+3 \leq 4x^2 + 9x +3 < 4x^2 +12x+ 9 = (2x+3)^2$

$\Rightarrow 4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2$ hoặc $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2$.

TH1: $4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2 \Leftrightarrow 9y = 4x - 2 $

Từ đây suy ra được $y\vdots 2 \Rightarrow 4x^2+9y \vdots 2$

$\Rightarrow 4x^2+9y+3$ chia 4 dư 3. (vô lí)

TH2: $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2 \Leftrightarrow 9y = 8x + 1$

Suy ra $x = 9k+1, y = 8k+1, k\in \mathbb{N}$.

Khi đó, $4y^2 + 9x +3 = 4\left ( 8k+1 \right )^2 + 9\left ( 9k+1 \right ) + 3= 256k^2 +145k +16$

Mặt khác:

$(16k+4)^2 \leq256k^2 +145k +16 = (16k+4)^2 + 17k < (16k+5)^2$

$\Rightarrow k=0$, vậy $x=y=1$.

Bạn kiểm tra đề câu 2 giúp mình nhé.

Cách khác: 

$ \sum \frac{1}{x(1-x)}=  \sum \left (\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}  \right )= \sum \left (\frac{1}{x} \right )+\sum \left ( \frac1{1-x} \right )$

$\geq \dfrac9{x+y+z} + \dfrac9{3-\left (x+y+z  \right )}$