dangthithuy

Cho tứ giác ${ABCD}$ với $\widehat{BAD}= \widehat{BCD}$. ${I}$ là trung điểm ${AC}$. ${H,K,L}$ lần lượt là hình chiếu của ${D}$ lên ${BC, CA, AB}$. Chứng minh rằng ${I, H, K, L}$ thuộc một đường tròn.

Cho hình chữ nhật ${ABCD}$ nội tiếp ${(O)}$. Các đường thẳng ${a, b}$ theo thứ tự là đường trung trực của đoạn ${OC, OD}$. Điểm ${M}$ chạy trên ${O}$. ${MA, MB}$ theo thứ tự cắt ${a, b}$ tại ${E, F}$. Chứng minh rằng ${EF}$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi ${M}$ di chuyển

Cho ${x}, {y}\epsilon Z^{+}$. Đặt ${m}= \frac{x^{2}+y^{2}}{{xy}-1}$ . Biết ${m}\epsilon Z^{+}$ . Tìm ${m}$

Cho ${n} \epsilon  Z^{+}, {n}> 6$ .  $a_{1}< a_{2}< \cdot \cdot \cdot < a_{k}$  là các số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với ${n}$. Biết $a_{1}, a_{2},\cdot \cdot \cdot a_{k}$ lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : ${n}$ là số nguyên tố hoặc ${n}=2 ^{m}$

Cho 2 đường thẳng ${d}'$ và ${d}$. Các đường thẳng ${a},{b},{c}$ đôi một song song và theo thứ tự đó cắt ${d}$ tại ${A}, {B}, {C}$ . Các đường thẳng ${a}', {b}', {c}'$ đôi một song song và theo thứ tự đó cắt ${d}'$ tại ${A}', {B}', {C}'$. ${a}, {b}, {c}$ theo thứ tự cắt ${a}', {b}', {c}'$ tại ${X}, {Y}, {Z}$. Chứng minh rằng nếu $\frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}= \frac{\bar{{A}'{B}'}}{\bar{{A}'{C}'}}$ thì ${X}, {Y}, {Z}$ thẳng hàng