huytruong

Vì sao lại tồn tại đa thức G,H như vậy, bạn có thể giải thích thêm được không?

vì hàm $\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x)$ chẵn nên tồn tại $\mathcal{G}$ như trên

Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là đa thức đơn khởi (có hệ số cao nhất là $1$ ) và bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ sao cho $|P(0)|$ không là số chính phương. Chứng minh $P(x^{2})$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$

giả sử $\mathcal{P}(x^2)$ khả quy tức $\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)$ với $\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$

ta có

$\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)\Rightarrow \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(-x)\mathcal{B}(-x)$

$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x).\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x)$ 

$\Rightarrow \exists \mathcal{G},\mathcal{H:}\left\{\begin{matrix} \mathcal{G}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x)\\ \mathcal{H}(x^2)=\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{G}(x^2)\mathcal{H}(x^2)\ \ ,\forall x\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x) \right )^2=\mathcal{G}(x)\mathcal{H}(x)$

vì đa thức $\mathcal{P}(x)$ bất khả quy nên có các trường hợp sau 

$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{G}(x)=\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$

$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=-\mathcal{G}(x)=-\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$

Tìm tất cả các số nguyên $k$ để có vô hạn giá trị nguyên $n>2$ thỏa mãn đa thức 
$$P_{n}(x)=x^{n+1}+kx^{n}-870x^{2}+1945x+1995 $$
có thể phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên với bậc ít nhất $1$.

đây là bài $\text{VN TST 1995}$

Mình cũng cauchy.schwarz 

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2=(\sum \sqrt {(a+c)\frac{a}{(a+b)(a+c)}})^{2}\leq( \sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})$

Từ gt $xyz=1$ ta đặt 

$x=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ ; $y=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}}$ ; $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}$

Suy ra $P=\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}$

 Ta có  $(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (\sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(c+a)}\leq \frac{9}{2}$

vì bđt $8(a+b+c)(ab+bc+ac)=8(a+b)(b+c)(c+a)+8abc\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Từ đó $P\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Vậy $MaxP=\frac{3}{\sqrt{2}}$