Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là đa thức đơn khởi (có hệ số cao nhất là $1$ ) và bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ sao cho $|P(0)|$ không là số chính phương. Chứng minh $P(x^{2})$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$
giả sử $\mathcal{P}(x^2)$ khả quy tức $\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)$ với $\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$
ta có
$\mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)\Rightarrow \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{A}(-x)\mathcal{B}(-x)$
$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x).\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x)$
$\Rightarrow \exists \mathcal{G},\mathcal{H:}\left\{\begin{matrix} \mathcal{G}(x^2)=\mathcal{A}(x)\mathcal{A}(-x)\\ \mathcal{H}(x^2)=\mathcal{B}(x)\mathcal{B}(-x) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x^2) \right )^2=\mathcal{G}(x^2)\mathcal{H}(x^2)\ \ ,\forall x\Rightarrow \left ( \mathcal{P}(x) \right )^2=\mathcal{G}(x)\mathcal{H}(x)$
vì đa thức $\mathcal{P}(x)$ bất khả quy nên có các trường hợp sau
$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=\mathcal{G}(x)=\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$
$\bullet\ \mathcal{P}(x^2)=-\mathcal{G}(x)=-\mathcal{H}(x)\Rightarrow \left | \mathcal{P}(0) \right |=\left ( \mathcal{G}(0) \right )^2\ (\text{mâu thuẫn})$
- Huy Thong yêu thích