LangTu Mua Bui

Đặt $ u_{1}=(1,2,1),u_{2}=(2,1,0)$

Viết J(X,Y)=$\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ là không ổn vì dễ nhầm là phép cuộn .Để tránh nhầm lẫn nên viết lại thành $\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}$

Ở bài này nên biết đến tích tensor của 2 ma trận thì dễ hiểu hơn  $J=B^{T} \bigotimes  A$

Biến đổi từ đề bài ta được : $\Rightarrow  y_{ij}= \frac{\partial y_{ih}}{\partial x_{mn}}= \frac{\partial \left ( \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ij}x_{jk}b_{kh} \right ) }{\partial x_{mn}}$

$y_{ij} $ Chỉ khác 0 khi mn trùng với jk .Suy ra ma trận Jacobi biến đổi là 1 ma trận $n^{2}\times n^{2}$

Đặt $c_{ij}=b_{ij} $ và  viết dạng ma trận khối 

                             $J=\begin{bmatrix} c_{11}A &c_{12}A&.. &c_{nn}A \\ c_{21}A & .. &...& .. \\ ... &...& ...\\ c_{n1}A & ..&.. & c_{nn}A \end{bmatrix}$

Do cách tính định thức là tổng các tính các hoán vị nên khi nhân các phần tử của $c_{ij}$ với A thì không làm thay đổi hoán vị
Gọi F là trường vector các ma trận vuông cấp n là cấp của mỗi khối , R là trường các ma trận vuông $n^{2} $ của ma trận J 
 

Điều này dẫn đến : $det J=det_{F}(det_{R} J) $

                                      $  =det_{F}\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}A^{n} \right )$

$det_{F}$ là tính định thức với dạng ma trận khối ,$det_{R}$ là tính định thức coi các ma trận thông thường bằng cách coi các  khối như phần tử vô hướng. 

 Do $A^{n} $là ma trận vuông cấp n                 $=det_{F}A^{n}(\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}\right )^{n}$

                                                                          $=detA^{n}detC^{n}$

                                                                          $=detA^{n}(detB^{T})^{n}$

                                                                  $  \Rightarrow det J=(detA)^{n}(detB)^{n}$

Gọi f và g là các ánh xạ tưng ứng với 2 ma trận A và B 

Xét đa thức $P(x)=x^{2017} $ và P(A)=0 suy ra đa thức tối thiểu có dạng $x^{k}$  tồn tại trị riêng $\lambda =0  $  tức $kerf  \neq  0 $

$ker fg =kerf +kerg mà ker f \geq 1  \Rightarrow ker fg -1\geq ker B  $

Sử dụng thêm định lý dim $ker \varphi  =n-dim im \varphi  $ 
 

C(A) là tập hợp các ma trận nên  mọi ma trận thuộc C(A) đều thuộc không gian chứa các ma trận vuông $ M_{n\times n }$ thuộc 
Chứng minh dimC(A)>n 
Với không gian các ma trận ta biết số chiều là $n^{2} $

Theo định lý số chiều :

Ta có $dim (Im F(X)) +dim(ker F(X)) =n^{2} $ Vì thế  yêu cầu bài toán tương đương với số chiều $ker F(X) >n $

Ta sẽ đi chứng minh dim$ Im(F(X)) <n^{2}-n $

Xét ánh xạ  F(X)=AX-XA với X và A là các ma trận vuông cấp n 

Ánh xạ F là 1 ánh xạ tuyến tính do nó thỏa mãn 2 tính chất 

 Thật vậy :$ F(M+N)=A(M+N)-(M+N)A=AM-MA+AN-NA=F(M)+F(N)$
            và $F(kX)=k(AX-XA)=kF(X) $

Bằng biển đổi thông thường  ta luôn có F(X) là 1 ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 với mọi ma trận X 
VÌ vậy số chiều của$ Im F(X) $luôn nhỏ hơn $n^{2}-n$
 Yêu cầu bái toán đã được chứng minh .