Little Boy

Cho a,b,c là các số thực tùy ý

CMR: $(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

$\left\{\begin{matrix} 4xy+4(x^{^{2}}+y^{2})+\frac{3}{(x+y)^{2}}=7\\ 2x+\frac{1}{x+y}=3 \end{matrix}\right.$

$4xy+4(x^{^{2}}+y^{2})+\frac{3}{(x+y)^{2}}=7\Leftrightarrow 3(x+y)^2+\frac{3}{(x+y)^2}+(x-y)^2=0$

$2x+\frac{1}{x+y}=3\Leftrightarrow x+y+\frac{1}{x+y}+x-y=3$

Từ đây đặt $x+y=a;x-y=b$ là ok 

Tìm GTNN của P=3x+2y+z biết 3x^2+4y^2+5z^2=2xyz

Ta có

$2xyz=3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^{10}}\Leftrightarrow \sqrt[6]{x^3y^2z}\geq6$

$P=3x+2y+z\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$

Cho tam giác ABC trọng tâm G. D,E,F là hình chiếu của G trên BC,CA,AB.CMR $BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$

Trước tiên ta áp dụng hệ thức Jacobi(tham khảo tại đây )

Ta có: $S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}+S_{c}.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}-S_{c}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}(S_{a}-S_{c})+\overrightarrow{GB}(S_{b}-S_{c})=\overrightarrow{0}$

Dễ thấy $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$ không cùng phương nên $S_{b}-S_{c}=S_{a}-S_{c}=0$

Do đó $S_{a}=S_{b}=S_{c}$

Kẻ các vecto đơn vị e₁,e₂,e₃ ra phía ngoài tam giác vuông góc với BC,CA,AB

$BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}$=$\sum BC^2.GD.\overrightarrow{e_{1}}=\sum 2S_{a}.BC.\overrightarrow{e_{1}}=2S_{a}(BC\overrightarrow{e_{1}}+CA\overrightarrow{e_{2}}+AB\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0})$ (Định lý con nhím)

Cho đa giác đều A₁A₂A₃...A_n nội tiếp đường tròn (O). CMR 

$\vec{OA₁}+\vec{OA₂}+\vec{OA₃}...+\vec{OA_n}=\vec{0}$

Đặt $\vec{OA₁}+\vec{OA₂}+\vec{OA₃}...+\vec{OA_n}=A$

Kẻ đường cao OH₁,OH₂...OH_n ứng với cạnh A₁A_2,A₂A₃...A_nA₁

Theo qt trung điểm ta có : $\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}=2\overrightarrow{OH_{1}}$

$\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}=2\overrightarrow{OH_{2}}$

...

$\overrightarrow{OA_{n}}+\overrightarrow{OA_{1}}=2\overrightarrow{OH_{n}}$

Do đó $A=\overrightarrow{OH_{1}}+...+\overrightarrow{OH_{n}}$

Kẻ các vectơ đơn vị $\vec{e_{1}};\overrightarrow{e_{2}}...\overrightarrow{e_{n}}$ vuông góc với các cạnh A₁A₂...A_nA₁ của đa giác

Khi đó $\overrightarrow{OH_{1}}=\vec{e_{1}}.OH_{_{1}}=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.\vec{e_{1}}.A_{1}A_{2}$...

$A=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.(\vec{e_{1}}.A_{1}A_{2}+\vec{e_{2}}.A_{2}A_{3}+...+\vec{e_{n}}.A_{n}A_{1})$(vì đa giác đều)

$A=\frac{OH_{1}}{A_{1}A_{2}}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$