Trong một kì thi, $60$ thí sinh phải giải $3$ bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với $2$ thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất $1$ bài toán mà cả $2$ thí sinh đó đều giải được. Chứng minh:
$a)$ Nếu có $1$ bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có $1$ bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
$b)$ Có $1$ bài toán mà có ít nhất $40$ thí sinh giải được.
b) Gọi 3 bài toán đó lần lượt là $A,B,C$
Theo đề bài mỗi thí sinh giải ít nhất 1 bài toán.
- Nếu có 1 thí sinh giải đc duy nhất 1 bài toán,ta xét thí sinh đó với các thí sinh khác thì 60 thí sinh đều làm được bài toán đó.
- Nếu mỗi thí sinh giải ít nhất 2 bài toán: Gọi số thí sinh ko giải được bài toán A là a, thí sinh ko giải được bài B là b, số thí sinh ko giải được bài C là c, số thí sinh giải được cả 3 bài toán là d.
$=>a+b+c+d=60$
Giả sử ko có bài toán mà ít nhất 40 thí sinh giải được:
$a+b+d($số thí sinh giải được bài toán $C) <40$
$a+c+d($số thí sinh giải được bài toán $B)<40$
$b+c+d($số thí sinh giải được bài toán $A) <40$
Từ đó ta có: $a+b+d+a+c+d+b+c+d<120$
$<=>2(a+b+c+d)+d<120$
$<=>2.60+d<120<=>d<0$(vô lí)
Vậy có 1 bài toán ít nhất 40 thí sinh giải được.
- Kim Vu, O0NgocDuy0O, leminhnghiatt và 1 người khác yêu thích