vuliem1987

Bài này kết quả bằng 0, tách thành hiệu  2 tổng tích phân, mà 2 tích phân bằng nhau sau phép đổi biến. Vậy hiệu của chúng bằng 0.

chẳng hạn  $\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{n}{n}}{k}=\int_{0}^{1}\frac{\left ( x+1 \right )^{n}-1}{x}dx$

1.Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\left ( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right )^2\leq 2\left ( x-2+y+3 \right )=2\left ( x+y+1 \right )$

 

$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\leq \sqrt{2}.\sqrt{x+y+1}$

 

Đặt $\sqrt{x+y+1}=t(t\geq 0)$

 

Khi đó thay vào (*) ta có:$\frac{t^2}{2}\leq \sqrt{2}t\Rightarrow 0\leq t\leq 2\sqrt{2}\Rightarrow 0\leq x+y+1\leq 8\Rightarrow -1\leq x+y\leq 7(**)$

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=6$ và $y=1$ thỏa mãn (*) và GTLN =7

 

2.Có $\left ( x+y+1 \right )^2=4\left ( x+y+1+2\sqrt{x-2}.\sqrt{y+3} \right )\geq 4\left ( x+y+1 \right )\Rightarrow \begin{bmatrix} x+y\geq 3 & & \\ x+y\leq -1 & & \end{bmatrix}$

 

Kết hợp với (**) $\begin{bmatrix} 3\leq x+y\leq 7 & & \\ x+y=-1 & & \end{bmatrix}$

 

Với $x+y=-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}\sqrt{y+3}=0 & & \\ x+y=-1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=-3 & & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó:$P=-\frac{9746}{243}$

 

Với $x+y\in[3;7]$ đặt $x+y=t\in[3;7]$ ,khi đó:$3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}=3^{t-4}+\left ( t+1 \right )2^{7-t}$

 

Đạo hàm $f(t)$ ta sẽ thấy $f(t)$ đồng biến trên $[3;a]$ và nghịch biến trên $[a;7]$ với $f'(a)=0$  

 

$\rightarrow f(t)\leq f(3)=\frac{193}{3}\forall t\in\left [ 3;7 \right ]$

 

Ta có:$x^{2}+y^{2}\geq x^{2}+\left ( 3-x \right )^2=\frac{3}{2}\left ( x-2 \right )^2+\frac{x^2}{2}+3\geq 5(x+y\geq 3;x\geq 2)$

 

Vậy $P\leq \frac{193}{3}-3.5=\frac{148}{3}$

 

Dấu "=" xảy ra khi $x=2;y=1$

 

Vậy  $m=\frac{148}{3}$

Nếu là đồng biến trên đoạn $\left [ 3;a \right ]$ thì $f\left ( 3 \right )\leq f\left ( t \right )\leq f\left ( a \right )$

Câu Oxy chỉ cần chỉ ra P là trung điểm của AC coi như là xong.

2 câu cuối mọi năm hứng thú, năm nay nhìn là chán!

Lý luận $f(x)>2x$ hay $f(x)<2x$ là không có cơ sở vì $f(x)$ có thể lúc này $<2x$ nhưng với $x$ khác thì lại $>2x$.

Hi! Lại sai rồi! 

Sau đây là lời giải tham khảo ý kiến của mọi người:

Từ cách xác định hàm ta có điều kiện $f\left ( x \right )-x\in \mathbb{N}$

Đặt $f\left ( x \right )+x=u;f\left ( x \right )-x=v;u,v\in \mathbb{N}$ suy ra $u-v=2x$ nên giả thiết được viết thành

$f\left ( u \right )-f\left ( v \right )=8x=4\left ( u-v \right )\Leftrightarrow f\left ( u \right )-2u+f\left ( v \right )-2v=2\left ( u-3v \right )$

TH1 : Giả sử $f\left ( x \right )> 2x \Rightarrow VT> 0\Rightarrow u-3v> 0\Leftrightarrow u> 3v\Leftrightarrow f\left ( x \right )+x> 3f\left ( x \right )-3x\Rightarrow 2x> f\left ( x \right )$

(Mâu thuẫn)

TH2: Giả sử $f\left ( x \right )< 2x\Rightarrow VT< 0\Rightarrow u< 3v\Rightarrow f\left ( x \right )+x< 3f\left ( x \right )-3x\Leftrightarrow 2x< f\left ( x \right )$

(Mâu thuẫn)

TH3: Ta dễ dàng kiểm tra được $f\left ( x \right )=2x$ thỏa mãn.

Kết luận........