Đến nội dung


tquangmh

Đăng ký: 21-11-2015
Offline Đăng nhập: 25-09-2017 - 20:07
****-

#651305 Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1.$

Gửi bởi tquangmh trong 25-08-2016 - 23:33

Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1$ đôi một khác nhau thỏa mãn: $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1).$

 

 

Do vai trò của $a;b;c$ là như nhau nên giả sử : $a\leq b\leq c$. 

Đặt :$\left\{\begin{matrix} x=a−1\\ y=b−1 \\ z=c−1 \end{matrix}\right.$ với  $0< x\leq y\leq z$ và $x;y;z \in \mathbb{Z}^{+}$.

Ta có : 

$(x+1)(y+1)(z+1)−1\vdots xyz$

$\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z\vdots xyz$

$\Leftrightarrow \frac{xyz+xy+yz+zx+x+y+z}{xyz} \in \mathbb{Z}^{+}$

$\Leftrightarrow f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \in \mathbb{Z}^{+}$

 

Để ý rằng : Nếu $a>b;a,b \in \mathbb{Z}^{+}\Rightarrow \frac{1}{a}< \frac{1}{b}$.

Do đó : 

$f(x,y,z)\leq f(1,2,3)\approx 2,8(3)\Rightarrow f(x,y,z) \in \left \{ 1;2 \right \}$

mà : $f(3,4,5)\approx 0,98(3) < 1 \Rightarrow x \in \left \{ 1;2 \right \}$

 

* TH1 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\x=1 \end{matrix}\right.$. Có : 

$f(1,y,z)=1+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{yz}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{yz}=0$ (vô lí vì $y;z\in \mathbb{Z}^{+}$ )

Lí luận tương tự : 

TH2 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=2;y=4;z=14)$ $\rightarrow$ $(a=3;b=5;c=15)$.

* TH3 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=2\\ x=1 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=1;y=3;z=7)\rightarrow (a=2;b=4;c=8)$.

* TH4 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ vô nghiệm.

 

 

Vậy : $(a;b;c)=(3;5;15);(2;4;8)$ cùng các hoán vị. 

$\blacksquare$




#632405 n chia hết cho 9 và n+1 chia hết cho 25

Gửi bởi tquangmh trong 11-05-2016 - 00:09

Bài 1 : 

Theo đề bài, ta có : 

$n = 9k$   (k là số tự nhiên)

$n + 1 = 25t$   (t là số tự nhiên)

Từ đó, ta suy ra : 

$n = 25t - 1 = 9k$

$\Rightarrow 25t - 1\vdots 9$

Xét $t = 9f + r$ (f, r là số tự nhiên; $r = 0;1;2;3;...;8$)

Thử với các giá trị của $r$, ta chọn đc $r = 4$.

Do đó : $n + 1 = 25(9f + 4) = 225f + 100$ 

Vậy : $n = 9(25f + 11)$ với $f$ là số tự nhiên. 




#631475 C/m các bt sau không thể có cùng giá trị âm: ab-a-b+1 ; bc-b-c+1 và ac-a-c+1

Gửi bởi tquangmh trong 05-05-2016 - 21:23

1.C/m các bt sau không thể có cùng giá trị âm:

ab-a-b+1 ; bc-b-c+1 và ac-a-c+1

2.C/m đa thức x2014+x2012+1 chia hết cho đa thức x2+x+1

 

 

Bài 1 : 

$ab-a-b+1=(a-1)(b-1);bc-b-c+1=(b-1)(c-1);ca-c-a+1=(a-1)(c-1)$

$\Rightarrow (ab-a-b+1)(bc-b-c+1)(ca-c-a+1)=(a-1)^{2}(b-1)^{2}(c-1)^{2}\geq 0$        $(1)$

Nếu các biểu thức trên cùng âm thì $(1)$ ko xảy ra (vô lí). Vậy, các biểu thức trên ko thể cùng âm

 

Bài 2 : đề có bị sai ko bạn ?? 

 

 




#631053 min $P=3a+2b+c$

Gửi bởi tquangmh trong 03-05-2016 - 21:04

Theo AM-GM: $$2abc=3a^{2}+4b^{2}+5c^{2}\geq 12\sqrt[12]{a^{6}b^{8}c}\Leftrightarrow a^{3}b^{2}c\geq 46656$$

Do đó: $$3a+2b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{3}b^{2}c}=36$$

 

Đầu bài là các số thực bất kì mà anh.  :mellow:  




#630902 Tìm Max của $A=2(x^{3}+y^{3})+3(x^{2}+y^...

Gửi bởi tquangmh trong 02-05-2016 - 22:01

Cho các số thực x,y thỏa mãn $x+y+4=0$. Tìm Max của

$A=2(x^{3}+y^{3})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

 

 

Có : 

$A=2(x^{3}+y^{3})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

$\Leftrightarrow A=2(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

$\Leftrightarrow A=-5(x^{2}+y^{2})+18xy$

Phần : $-5(x^{2}+y^{2})$ đánh giá max bằng BĐT Bunhia

Phần : $18xy$ dựa vào BĐT đc chứng minh bằng tương đương : $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$




#630266 Đồng dư thức

Gửi bởi tquangmh trong 29-04-2016 - 22:54

Tìm n biết 2n chia 7 dư 1

 

Bài toán đưa về : Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $2^{n}\equiv 1(mod7)$.

Giải : 

_ Xét : $n=3k(k\in \mathbb{N})$. 

Ta có : $2^{3k}\equiv 1(mod7)\Leftrightarrow 8^{k}\equiv 1(mod7)$ (luôn đúng). Vậy ta đc 1 nghiệm là $n=3k$.

 

_ Xét : $n=3k+1(k\in \mathbb{N})$.

Ta có : $2^{3k+1}\equiv 1(mod7)\Leftrightarrow (2.8^{k}-1)\vdots 7\Leftrightarrow [8^{k}+(8^{k}-1)]\vdots 7$  $(1)$

Dễ thấy : $(8^{k}-1)\vdots 7$ và $8^{k}$ không chia hết cho 7 nên $(1)$ vô lí.

 

_ Xét : $n=3k+2(k\in \mathbb{N})$.

Ta có : $2^{3k+2}\equiv 1(mod7)\Leftrightarrow (4.8^{k}-1)\vdots 7\Leftrightarrow [3.8^{k}+(8^{k}-1)]\vdots 7$.    $(2)$

Lập luận tương tự trường hợp $n=3k+1$ và để ý thêm rằng : $(3;7)=1$. Ta thấy $(2)$ cũng vô lí.

 

Vậy :  $n=3k(k\in \mathbb{N})$ 

  




#630106 Tìm GTNN của $A= 2016xy-yz-zx$

Gửi bởi tquangmh trong 28-04-2016 - 21:32

bạn tham khảo : http://diendantoanho...ca/#entry630020




#629939 Tìm $Min$ và $Max$ của $Q=x+y+z$

Gửi bởi tquangmh trong 27-04-2016 - 22:41

cho x,y,z là các số thực thoả mãn: $y^{2}+yz+z^{2}=1-\frac{3}{2}x^{2}$ .Tim Min,Max của: 

            Q=x+y+z

 

Ta có : 

$y^{2}+yz+z^{2}=1-\frac{3x^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2y^{2}+2yz+2z^{2}+3x^{2}=2$

$\Leftrightarrow 2=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(x^{2}+y^{2})+(z^{2}+x^{2})+2yz\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2zx+2yz$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\leq 2$

$\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x+y+z\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" : ....

* Giải thích : $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$ còn $z^{2}+x^{2}\geq 2zx$ tương tự. Hai BDT này đúng với mọi số thực x, y, z.

 

P/s : Bài này bạn tpdtthltvp có giải ở đâu rồi nhưng mình quên link.




#629910 $P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}...

Gửi bởi tquangmh trong 27-04-2016 - 21:39

Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN

$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$

 

* Bổ đề : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ và $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

Dễ chứng minh bằng Cauchy

 

Ta có : $P=\frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{z+x}+\frac{z^{4}}{x+y}=\frac{x^{6}}{x^{2}y+x^{2}z}+\frac{y^{6}}{y^{2}x+y^{2}z}+\frac{z^{6}}{z^{2}x+z^{2}y}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})}\geq ...$ (Đọan này áp dụng bổ đề trên)




#629856 $P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}...

Gửi bởi tquangmh trong 27-04-2016 - 20:07

Có cho x, y, z dương hay không âm không vậy bạn ?




#629550 Kết quả thi toán violympic trên toàn quốc

Gửi bởi tquangmh trong 25-04-2016 - 19:59

Có phải mỗi tỉnh lấy 25 người mỗi khối không?

 

Em ko biết anh ạ ! ... Em chỉ biết thi và xem kết quả thôi anh ! Vậy nên anh có thể lên fb mà hỏi.  :D




#629545 Kết quả thi toán violympic trên toàn quốc

Gửi bởi tquangmh trong 25-04-2016 - 19:51

Tại sao lại có lớp 9, mình tưởng chỉ có lớp 4,8,11 thôi chứ

 

Em chẳng biết nữa, anh lên fb của bạn Thần Đồng Toán Học để xem chi tiết. Để em sửa lại tiêu đề.




#629534 Kết quả thi toán violympic trên toàn quốc

Gửi bởi tquangmh trong 25-04-2016 - 18:55

Đây là link tổng kết kết quả thi toán violympic. (Thông báo chính thức)

http://violympic.vn/Page_New_Detail.aspx?ID=1618




#629489 CM: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}...

Gửi bởi tquangmh trong 25-04-2016 - 12:13

Cho a,b,c>0.CM: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

 

_ Áp dụng Cauchy  : $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2 \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b$

Tương tự, cộng lại theo vế, có đpcm.

Dấu "=" khi a = b = c




#629488 CM: \frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3...

Gửi bởi tquangmh trong 25-04-2016 - 12:10

_ Ta có BDT : $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq \frac{a+b}{2}$

Tương tự cộng lại ta có d0pcm.

_ Dấu "=" khi a = b = c.

* Chứng minh bằng tương đương : $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-ab(a+b)\geq 0 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq 0$

 (a,b,c dương nên BDT luôn đúng)