tquangmh

Cho Tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. Chứng minh rằng :

$\frac{HA.HB}{CA.CB}+\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HC.HA}{BC.BA}=1$

(Giải với kiến thức diện tích lớp 8 và với kiến thức định lí Ta-lét (thuận, đảo, Hệ quả))

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

_ Biến đổi đẳng thức  : là biến đổi các vế của đẳng thức ban đầu trở thành các vế của một đẳng thức khác bằng cách : lũy thừa, chuyển vế, ...

_ Biến đổi đồng nhất : là biến đổi phần điều kiện (nếu có) của đề bài trở thành phần mà đề bài yêu cầu bằng phép biến đổi đẳng thức.

_ Nếu trong bài toán biến đổi đồng nhất, có một đẳng thức điều kiện của bài toán thì mọi điều kiện của đẳng thức đó đc xem là điều kiện của bài toán.

Ví dụ : Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Chứng minh rằng : ab + bc + ca = 0.

Đối với bài này, ta thấy : ba số a, b, c đã có mối liên hệ thông qua đẳng thức này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Nhưng nếu để ý thì ta còn một lưu ý rất quan trọng thông qua đẳng thức này, đó chính là ĐKXĐ của đẳng thức. ĐKXĐ của đẳng thức này là $a;b;c\neq 0$. ĐKXĐ của đẳng thúc này cũng đc coi là điều kiện của đẳng thức trên. Từ đây, ta cũng nói $a;b;c\neq 0$ cũng là điều kiện của đẳng thức cần chứng minh và được phép sử dụng điều kiện này trong bài toán mà ko cần chứng minh lại.

Giải :  Nhân abc vào đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, ta có ĐPCM.

_ Các công cụ của bài toán này là các HĐT thông thường cũng như các HĐT đặc biệt sau :

1/ a³ + b³ + c³ = 3abc <=> a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

2/ Hằng đẳng thức Largrange (mình nhớ là vậy ) : (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

... cùng phép phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức, ...

Trong chủ đề này, các bài toán đôi khi sẽ có quan hệ mật thiết với nhau nên các bạn có thể sử dụng kết quả của một bài toán nào đó đã được chứng minh đề áp dụng vào bài toán mới nhưng phải trình bày rõ. Đây là một kiến thức mà theo mình là nó rất thú vị.     

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

a) (Cách khác) TỪ giả thiết :$a+b+c=0\Rightarrow a+b = -c; b+c=-a; a+c=-b \Rightarrow (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}=(-a)^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

c) Gợi ý : Có 2 cách :

+ Cách 1 : Áp dụng vế phải bài a/

+ Cách 2 : Khai thác giả thiết

Nếu ko có ai làm thì mình sẽ ... 

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Có 4 số là : 153; 370; 371; 407. Phần này là mình nhờ Pascal

Mình giải tiếp nha :

a/ Có : $a^{4}+6a^{2}-7=0 \Leftrightarrow (a^{2}+7)(a^{2}-1)=0 \Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) = 0 \Leftrightarrow a = 1$ hoặc $a = -1$

*Với a = 1 thì x = 8

*Với a = - 1 thì x = 6

Kết luận : ...

b/

Cách 1 (Cách trên) :

Khi đặt $a=x^{2}+2x-3\Rightarrow a+4=(x+1)^{2}\geq 0 \Rightarrow a \geq -4$

Vì vậy khi (a - 12)(a + 16) = 0 thì chỉ lấy a = 12 thôi.

Có : $a=x^{2}+2x-3=12\Leftrightarrow (x-3)(x+5)=0$

Kết luận : ...

Cách 2 (Mình có thêm một cách nữa) :

Khi đã nhân đến : $(x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x+1)=192$

Đặt : $y=x^{2}+2x-1\Rightarrow y+2=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\geq 0\Rightarrow y\geq -2.$. Ta có :

$PT\Leftrightarrow (y+2)(y-2)=192\Leftrightarrow y^{2}-4-192=0\Leftrightarrow y^{2}-14^{2}=0\Leftrightarrow (y-14)(y+14)=0$

Vậy y = -14 hoặc y = 14. Nhưng theo điều kiện của y nên ta chỉ nhận y = 14.

Với y = 14 thì phương trình sẽ trở thành :

$y=x^{2}+2x-1=14\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0\Leftrightarrow (x-3)(x+5)=0$

Vậy nghiệm của pt này là 3 và  -5

Vậy nếu đề bài cho Q(x) = x² + 1 thì sao ạ ?

Mình chưa hiểu đề bài của bạn mdbshhtb2002 : Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ??

Mình đã từng giải qua một bài toán sao : Tìm a số tự nhiên a nhỏ nhất để 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4^a là số chính phương.

Kết quả bài toán là a = 2004.

Nếu 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4²⁰⁰⁴ là số chính phương thì 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4²⁰⁰⁴ = 4²⁷(1 + 4⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁷⁷) cũng là số chính phương. Mà 4²⁷ là số chính phương nên 

1 + 4⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁷⁷ cũng là số chính phương. Vì vậy (x;y) = (989;1977) ; (1977;989); ... 

Mình cũng không biết hai nghiệm 989 và 1977 có đầy đủ hay chưa nên bài viết này mình chỉ cho biết là bài của bạn có hai nghiệm 989 và 1977.   

Mà với x = y = 1 thì A cũng là số chính phương nữa. Mình chỉ vừa học phần Phương trình nghiệm nguyên nên mình chưa đc giỏi để giải bài toán này, mà chỉ đoán mò thôi.

Sao bài này mình thấy giống như bài này quá : 

Cho tam giác ABC. Dựng 2 hình vuông ABDE, BCFG. Gọi M là trung điểm AC. O₁ và O₂ lần lượt là tâm hai hình vuông ABDE và BCFG. Chứng minh tam giác O₁O₂M vuông cân.

 Bài giải (dành cho bài này)

(HÌnh vẽ : các bạn vẽ hình rồi nhìn vào lời giải, mình đăng hình lên ko đc)

Chứng minh được : Tam giác DBC = Tam giác ABC (c.g.c) => CD = AG (1) và góc C₁ = G₁

Ta có : O₁M là đường trung bình tam giác ADC => O₁M = CD/2             (2) và O₁M // CD 

Tương tự : O₂M = AG/2                                                                            (3) và O₂M // AG

Từ (1), (2), (3) => O₁M = O₂M => Tam giác O₁O₂M  cân tại M.               (a)

Gọi S, H lần lượt là giao điểm của BC với AG, CD với AG.

Ta có : Tam giác BGS vuông tại B => góc S₁ + góc G₁ = 90^O 

                                                  mà : góc S₁ = góc S₂ (đối đỉnh)

                                                         gócC₁ = gócG₁ (chứng minh trên)

                                                   => gócS₂ + gócC₁ = 90^O

                                                   => góc SHC = 90^O

                                                             => CD vuông góc AG

                                                   => O₁M vuông góc O₂M (vì theo phần chứng minh trên có O₁M // CD; O₂M // AG)

                                                   => Tam giác  O₁O₂M vuông tại M.            (b)

Từ (a), (b) => (đpcm)

Đây là một bài toán hoàn toàn không giống gì đến bài toàn của bạn tpdtthltvp đề cập đến trong topic này.

Nhưng mình mong là từ bài toán này, bạn có thể nghĩ ra một hướng tìm đến lời giải đẹp của bài toán của bạn.     

góc G₁ là góc BGS, góc B₁ là góc ABC, góc S₁ là góc BSG, góc S₂ là góc ASC, góc C₁ là góc HCS.

Câu 5 : Từ đk của bài, ta suy ra : 

+ ab = - bc - ca

+ bc = - ab - ca

+ ca = -ab - bc.

Bậy giờ ta xét mẫu từng phân thức hạng tử của P :

+ a² + 2bc = a² + bc - ab - ac = (a - b)(a - c)

+ b² + 2ac = b² + ac - ab - bc = (a - b)(c - b) 

+ c² + 2ab = c² + ab - bc - ac = (a - c)(b - c)  

Các bạn viết P với mẫu thức của từng phân thức là như trên. Sau đó quy đồng các phân thức của  P, Ta có : 

+ Tử thức của P là : a²(c - b) + b²(a - c) - c²(a - b)  = (a - b)(c - b)(a - b)

+ Còm mẫu thức là : (a - b)(c - b)(a - b)

nên P = 1 (vì tử mà mẫu giống nhau). 

Thế này chắc rõ rồi đấy ạ !!!  

Câu 1a) :

x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = (x² + 2x)(x² + 2x + 2) + 1 

Đặt : y = x² + 2x + 1 = (x + 1)²  

Ta có : (x² + 2x)(x² + 2x + 2) + 1 = (y - 1)(y +1) + 1 = y² -  1 + 1 = y² = (x +1)⁴ 

Vậy :  x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = (x +1)⁴ 

câu 2a) : Đầu tiên ta cần thông qua bài toán phụ sau :

Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc

Chứng minh : ( các bạn tự chứng minh)

Vậy A = 3.

Câu 5: Từ điều kiện : (a + b + c)² = a² + b² + c², ta suy ra : ab + bc + ca = 0, suy ra :

+ ab = - bc - ca.

+ bc = -ab - ca.

+ ca = -ab - bc.

Có :  $P = \frac{a^{2}}{a^{2}+ 2bc} + \frac{b^{2}}{b^{2}+ 2ca} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ 2ab}= \frac{a^{2}}{a^{2}+ bc - ab - ca } + \frac{b^{2}}{b^{2}+ ca - ab - bc} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ ab - bc - ca} 

Bài 2 : Trước hết phải qua một bài toán phụ :

Bài toán phụ : 

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$ .

Chứng minh rằng : $a^{2}d = c^{2}b$. 

Giải : 

$a^{2}+c^{2} = 1 \Rightarrow (a^{2}+c^{2})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d}=\frac{(a^{2}+c^{2})^{2}}{b + d} \Rightarrow (a^{4}d + c^{4}b)(b + d) =bd(a^{4}+2a^{2}c^{2} + c^{4}) \Rightarrow bda^{4}+d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4}+bdc^{4} = bda^{4}+2bda^{2}c^{2}+bdc^{4} \Rightarrow d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4} - 2bda^{2}c^{2} = (da^{2}-bc^{2})^{2} = 0 \Rightarrow da^{2}=bc^{2}$

Từ bài toán phụ, ta suy ra : 

$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}} + \frac{c^{2012}}{d^{1006}} = 2.\frac{a^{2012}}{b^{1006}}$

Lại có : 

$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} = \frac{a^{2}+c^{2}}{b + d} = \frac{1}{b + d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=\frac{1}{(b + d)^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}+\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=2.\frac{1}{(b + d)^{1006}} = \frac{2}{(b + d)^{1006}}$

Theo cách giải này, ta thấy đề bài có bài toán tổng quát sau :

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$. 

Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2m}}{b^{m}}+\frac{c^{2m}}{d^{m}} = \frac{2}{(b + d)^{m}}$

(m > 0)