superherokhang

Có đẳng thức đó thì sao mệnh đề đó đúng được nhỉ?

Tại mình làm tắt bước cuối sorry

Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$

Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$

Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$

$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$

Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n

$2^{2^{n}-1}-2=2.2^{2^{n}-2}-2=2.(2^{2^{n}-2}-1)$

Theo đề bài ta có điều cần chứng minh

Đây là lời giải của mình!!! Trình bày phù hợp hơn với THCS

Gọi $x$ là số thỏa điều kiện đề bài khi $x$ thuộc hình vuông $2013 \times 2013$ ( $1007$ hàng thứ tự giảm và $1006$ hàng thứ tự tăng nằm giữa hình vuông $2015 \times 2015$ và $x$ thuộc hàng ngang thứ $n$ $(2\leq n\leq 2014 )$).

Ta có: Số liền trên $x$ là $4030\left ( n-1\right )+1-x$ và $4030\left ( n-1\right )+1-x\equiv 1\left ( mod 2\right )$

           Số liền dưới $x$ là $4030n-x+1$ và $4030n-x+1\equiv 3\left ( mod 4\right )$

           $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\equiv 0\left ( mod 2 \right ) & \\ x\equiv 4030n-2\left ( mod4 \right ) & \end{matrix}\right.$

$\ast$ Xét $x$ ở hàng thứ tự giảm dần, suy ra $n\vdots 2$ $\Rightarrow x\equiv 2\left ( mod 4 \right )$

Số nằm bên phải $x$ chia $3$ dư $2$ nên $x\equiv 0\left ( mod 3\right )$

Số nằm bên trái $x$ chia $5$ dư $4$ nên $x\equiv 3\left ( mod 5\right )$ 

Áp dụng hệ thặng dư Trung Hoa ta tìm được $x\equiv 18\left (mod 60\right )$

Số các số $60x+18$ trong các khoảng từ $2017$ đến $4029$, $6047$ đến $8059$, $10077$ đến $12089$, $14107$ đến $16119$, $18137$ đến $20149$, $22167$ đến $24179$ lần lượt là $33$, $34$, $34$, $34$, $34$ và $33$.

$\ast$ Xét $x$ ở hàng thứ tự tăng dần, suy ra $n\equiv 1\left (mod 2\right )$ $\Rightarrow x\equiv 0\left ( mod 4 \right )$

Số nằm bên phải $x$ chia $3$ dư $2$ nên $x\equiv 1\left ( mod 3\right )$

Số nằm bên trái $x$ chia $5$ dư $4$ nên $x\equiv 0\left ( mod 5\right )$

Áp dựng hệ thặng dư Trung Hoa ta tìm được $x\equiv 40\left ( mod 60\right )$

Số các số $60x+40$ trong các khoảng từ $4032$ đến $6044$, $8062$ đến $10074$, $12092$ đến $14104$, $16122$ đến $18134$, $20152$ đến $22164$, $24182$ đến $26194$ lần lượt là $34$, $34$, $34$, $33$, $33$ và $33$.

Vậy số các số $x$ cần tìm là 

$\left [ \frac{1008}{6}\times \left ( 33\times 2+34\times 4 \right ) -33\right ]+\left [ \frac{1008}{6}\times \left ( 34\times 3+33\times 3 \right )-33\times 2 \right ]= 67605$

Ngưỡng mộ Michael Scofield quá!!!!!!!!