Math IOoOI LoL

 Nội quy: 

1) Các bài toán trong topic này phải đánh số thứ tự. Bất kì bài nào không đánh số thứ tự đều bị xóa và người post bài đó sẽ bị nhắc nhở lỗi spam.

2) Chỉ đăng bài mới khi bài cũ đã có người post đáp án.

 

 

Đề bài 1: 

Albert và Bernard vừa kết bạn với Cheryl. Họ muốn biết ngày sinh nhật của Cheryl. Sau đó, Cheryl đưa ra 10 đáp án: Ngày 15/5, ngày 16/5, ngày 19/5, ngày 17/6, ngày 18/6, ngày 14/7, ngày 16/7, ngày 14/8, ngày 15/8 và ngày 17/8.

• Cheryl sau đó đã tiết lộ riêng với Albert và Bernard về tháng và ngày sinh của mình. 
• Albert: "Tớ không biết ngày sinh của Cheryl, nhưng tớ biết Bernard cũng không biết".
• Bernard: "Trước tớ không biết ngày bạn ấy sinh nhưng giờ tớ biết rồi".
• Albert: "Vậy tớ đã biết ngày sinh nhật của Cheryl".

Theo các bạn, Cheryl sinh ngày nào?

 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích

Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

y³ - x³ = 91   (1)

Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x² + xy + y²) = 91   (*)
Vì x² + xy + y² > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x² + xy + y² đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :

y - x = 91 và x² + xy + y² = 1 ; (I)

y - x = 1 và x² + xy + y² = 91 ; (II)

y - x = 3 và x² + xy + y² = 7 ; (III)

y - x = 7 và x² + xy + y² = 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.

Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

x + y + z = xyz   (2).

Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1/x + 1/y + 1/z = 2   (3)

Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.

Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).

Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.

Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x² - 2y² = 5   (4)

Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k² +4k + 1 - 2y² = 5
tương đương 2(k² + k - 1) = y²
=> y² là số chẵn => y là số chẵn.

Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k² + k - 1) = 4t²
tương đương k(k + 1) = 2t² + 1   (**)

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t² + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.

Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :

x³ + y³ + z³ = x + y + z + 2000   (5)

Lời giải : Ta có x³ - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x³ - x chia hết cho 3.

Tương tự y³ - y và z³ - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x³ + y³ + z³ - x - y - z chia hết cho 3.

Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x³ + y³ + z³ - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên.

Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

xy + x - 2y = 3   (6)

Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2).

Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này.

Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x² - xy + y² = 3   (7)

Lời giải :
(7) tương đương với (x - y/2)² = 3 - 3y²/4
Vì (x - y/2)² ≥ 0 => 3 - 4y²/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .

Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.

Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :

a) x² - xy = y^2+23 ;

b) 3x +3y + xy = 0 ;

c) 19x² + 28y² =729 ;

d) 3x² + 10xy + 8y² = 96.

Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn :

a) 4xy + 3x^2+y^2 = 59 ;

b) 6(xy + yz + zx)+x^2+y^2+z^2 = 4xyz ;

c) 1/x + 1/y  = 1/2015.

 bye!