CaoHoangAnh

1

$\left\{\begin{matrix} (x+y)\sqrt{x^2+7}+y\sqrt{2y^2+1}=xy+2y^2 & \\2x\sqrt{x+y }+(x+y)\sqrt{2y^2+1}=3xy-x2 & \end{matrix}\right.$

2

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=2 & \\4\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}=7y & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}$

 

 

7)$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3 & \\ x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{x+1}=6 & \end{matrix}\right.$ 

 

 

Đk  .....

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=a (a\geq 0) & \\ \sqrt{y+1}=b (b\geq 0) & \end{matrix}\right.$

Hệ trở thành

$\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ ab^2+ba^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & \\b=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=8 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$

Và còn nghiệm ngược lại

1)  Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

CMR $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^3+2}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^3+3}}\geq \frac{3}{2}$

2)  Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$

Tìm MIN $P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

3)  Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c> 0 & \\ a^{2}+b^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.$

CMR $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

4)  Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0 & \\ a^2+b^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.$

CMR $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Xét $P^2$ rồi dùng BĐT cơ bản $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Ta có $P^2$=$(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow P^2\geq 3.2012\Rightarrow P\geq \sqrt{3.2012}$

Dấu "=" xẩy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{2012}{3}}$

Bài 4: 

Ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}y+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

BĐT MIN $= \frac{20}{11}+\frac{99}{11}$

Dấu = xẩy ra $x=y=z=\frac{20}{33}$

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Bạn làm như thế cho phức tạp 

ta có $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ ( có thể dùng BĐT AM-GM cho từng bộ số)

$\Rightarrow 1\geq 8abc \Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

Mặt khác $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$ 

$\geq 3abc.3\sqrt[3]{abc}=3.\frac{1}{8}.\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ ĐPCM 

Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$

Cho $x,y,z> 0 ;xyz=1$

CM $\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

toàn ng ra đề mk ko có người giải             

Dấu = không xảy ra!!

Không tồn tại min 

Giải các phương trình sau : 

 

 $x^{2}-x+3=\sqrt{6x-1}+(x+2)\sqrt{2x^{2}+6}$

 

Bạn xem lại đi,PT vô nghiệm

Giải phương trình : x+$\sqrt{16-x^{2}}$ = 5$\sqrt{x+4}$ +$\sqrt{4-x}$ -8

Đặt $\sqrt{x+4}=a(a\geq 0),\sqrt{4-x}=b(b\geq 0)$

$\Rightarrow x=a^{2}-4$

PT trở thành $a^{2}-4+ab-5a-b+8=0$

$\Leftrightarrow a^{2}-2a+1-3a+3+ab-b=0\Leftrightarrow (a-1)^{2}-3(a-1)+b(a-1)\Leftrightarrow (a-1)(a+b-4)=0$

$\Leftrightarrow a=1,a=4-b$

TH1 $a=1\Rightarrow \sqrt{x+4}=1\Leftrightarrow x=-3(TM)$

TH2 $a=4-b\Rightarrow \sqrt{x+4}=4-\sqrt{4-x} \Leftrightarrow x=0(TM)$

Vậy PT có 2 nghiệm là 0 và -3

Điều kiện:$x\geq -2$

PT $\Rightarrow x^{3}-3x(x+2)+2\sqrt{(x+2)^{^{3}}}=0$

Đặt $\sqrt{x+2}=a$

PT $\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3a^{^{3}}$

Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của pt

Chia cả 2 vế cho $x^{3}$ 

PT $\Leftrightarrow 1-\frac{3a^{2}}{x^{2}}+\frac{2a^{3}}{x^{3}}$

Đặt $\frac{a}{x}$=t

PT $\Rightarrow 1-3t^{2}+2t^{3}$

$\Leftrightarrow t=1,t=\frac{1}{2}$

$t=1\Rightarrow \frac{a}{x}=1\Rightarrow \frac{\sqrt{x+2}}{x}=1\Rightarrow x+2=x^{2}\Leftrightarrow x=2(TM),x=-1(TM)$

$t=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{x+2}}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^{2}-4x-8=0\Leftrightarrow x=2+2\sqrt{3}(TM),x=2-2\sqrt{3}(TM)$