UphluMuach

Bài 1, ngày 1:
Phát biểu lại đề bài như sau: tìm số các số nguyên $a \in A$ là số dư chính phương $\pmod{2016}$.

Ta có bổ đề sau: (CM bổ đề tương đối đơn giản, sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa)
"Cho $a$ là số dư chính phương theo các modulo $n_1, n_2,..., n_k$ và $(n_i; n_j) =1 \forall 1 \le i, j \le k, i \ne j$. Khi đó a là số dư chính phương modulo $n_1n_2...n_k$."

Trở lại với bài toán ban đầu, ta có: $2016 = 2^5.3^2.7 (= 32.9.7)$
Gọi $A_p$ là tập hợp các số dư chính phương modulo $p$, ta có:
$A_{32} =$ {$1; 9; 17; 25$}
$A_9 =$ {$1; 4; 7$}
$A_7 =$ {$1; 2; 4$}
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa và bổ đề trên, có $4.3.3 = 36$ số chính phương modulo $2016$.
Vậy số các số $a$ cần tìm là $36$.

Bài 1, ngày 2:
Trước hết, ta CM bổ đề:
"Cho $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim a_n = +\infty$"
Cách CM tham khảo tại: https://en.m.wikiped...s_(mathematics)

Trở lại bài toán.
Đặt $u_n = x_1 + x_3 + ... + x_{2n-1}$, $v_n = x_2 + x_4 + .... + x_{2n}
\Rightarrow v_n > \dfrac{a_n}{2}
\Rightarrow (v_n)$ là dãy tăng và $\lim v_n = +\infty$
Lại có: $\lim \dfrac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} = \lim \dfrac{x_{2n+1}}{x_{2n+2}} = lim \dfrac{2n+2}{2n+1}. \dfrac{cos(\dfrac{1}{2n+2})}{cos(\dfrac{1}{2n+1})} = 1 \Rightarrow \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 1$ (Định lý Stolz)
Vậy giới hạn cần tìm là 1

Tìm tất cả các hàm $f: R^+ \rightarrow R^+$ thỏa: $x^2f(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x)) \forall x,y \in R^+$

Tìm tất cả các hàm $f: N* \rightarrow N*$ thỏa: $f$ tăng nghiêm ngặt và $f(mf(n))=n^2f(mn) \forall m, n \in N*$

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$
CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$
 
2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$
Biết $x+y+z=1$

Bài 2: $\dfrac{x^3}{x^2+yz}=\dfrac{x(x^2+yz)-xyz}{x^2+yz}=x-\dfrac{xyz}{x^2+yz} \ge x-\dfrac{xyz}{2x.\sqrt{yz}}=x-\dfrac{\sqrt{yz}}{2}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng theo vế, ta có:
VT $\ge (x+y+z)-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2} \ge 1-\dfrac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2} \ge 1-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{1}{2}$
Đẳng thức $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$