Đến nội dung

UphluMuach

UphluMuach

Đăng ký: 04-12-2015
Offline Đăng nhập: 10-07-2017 - 16:58
***--

#644032 Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 PTNK( ngày 1)

Gửi bởi UphluMuach trong 07-07-2016 - 20:52

Bài 1, ngày 1:
Phát biểu lại đề bài như sau: tìm số các số nguyên $a \in A$ là số dư chính phương $\pmod{2016}$.

Ta có bổ đề sau: (CM bổ đề tương đối đơn giản, sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa)
"Cho $a$ là số dư chính phương theo các modulo $n_1, n_2,..., n_k$ và $(n_i; n_j) =1 \forall 1 \le i, j \le k, i \ne j$. Khi đó a là số dư chính phương modulo $n_1n_2...n_k$."

Trở lại với bài toán ban đầu, ta có: $2016 = 2^5.3^2.7 (= 32.9.7)$
Gọi $A_p$ là tập hợp các số dư chính phương modulo $p$, ta có:
$A_{32} =$ {$1; 9; 17; 25$}
$A_9 =$ {$1; 4; 7$}
$A_7 =$ {$1; 2; 4$}
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa và bổ đề trên, có $4.3.3 = 36$ số chính phương modulo $2016$.
Vậy số các số $a$ cần tìm là $36$.


#643873 Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 PTNK( ngày 1)

Gửi bởi UphluMuach trong 06-07-2016 - 18:13

Bài 1, ngày 2:
Trước hết, ta CM bổ đề:
"Cho $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim a_n = +\infty$"
Cách CM tham khảo tại: https://en.m.wikiped...s_(mathematics)

Trở lại bài toán.
Đặt $u_n = x_1 + x_3 + ... + x_{2n-1}$, $v_n = x_2 + x_4 + .... + x_{2n}
\Rightarrow v_n > \dfrac{a_n}{2}
\Rightarrow (v_n)$ là dãy tăng và $\lim v_n = +\infty$
Lại có: $\lim \dfrac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} = \lim \dfrac{x_{2n+1}}{x_{2n+2}} = lim \dfrac{2n+2}{2n+1}. \dfrac{cos(\dfrac{1}{2n+2})}{cos(\dfrac{1}{2n+1})} = 1 \Rightarrow \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 1$ (Định lý Stolz)
Vậy giới hạn cần tìm là 1


#610836 $4(a+b+c)=3abc$

Gửi bởi UphluMuach trong 24-01-2016 - 21:29

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$
CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$
 
2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$
Biết $x+y+z=1$

Bài 2: $\dfrac{x^3}{x^2+yz}=\dfrac{x(x^2+yz)-xyz}{x^2+yz}=x-\dfrac{xyz}{x^2+yz} \ge x-\dfrac{xyz}{2x.\sqrt{yz}}=x-\dfrac{\sqrt{yz}}{2}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng theo vế, ta có:
VT $\ge (x+y+z)-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2} \ge 1-\dfrac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2} \ge 1-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{1}{2}$
Đẳng thức $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$


#610642 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Gửi bởi UphluMuach trong 23-01-2016 - 22:47

Bài 2
Ta có: $(a+b+c+d) \vdots p, (a^3+b^3+c^3+d^3) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)^3+(c+d)^3-3(ab(a+b)+cd(c+d))) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)(ab-cd)+(a+b+c+d)cd) \vdots p$ (do $(3;p) = 1$)
$\Rightarrow (a+b)(ab-cd) \vdots p
\Rightarrow (a+b) \vdots p \vee (ab-cd) \vdots p$
- Với $(a+b) \vdots p$, ta có: $(c+d) \vdots p$. Dễ thấy $(a^{2015}+b^{2015})\vdots (a+b), (c^{2015}+d^{2015} \vdots (c+d)$. Dễ dàng suy ra $S_{2015} \vdots p$
- Với $(ab-cd) \vdots p$, ta có: $((a+b)^2-(c+d)^2) \vdots p
\Rightarrow (a^2-c^2+b^2-d^2) \vdots p
\Rightarrow ((a-c-b+d)(a+c)+(b-d)(a+b+c+d)) \vdots p
\Rightarrow -(a+c)(a+b+c+d)+2(a+c)(a+d) \vdots p
\Rightarrow (a+c) \vdots p \vee (a+d) \vdots p$ (do $(2;p)=1$). CMTT TH trên.
Ta có đpcm.


#610620 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Gửi bởi UphluMuach trong 23-01-2016 - 21:22

Bài 4
a) Ta thấy trong dãy luôn có ít nhất 1 số dương ($a_1$) và 1 số âm ($a_4$). Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên âm trong dãy.
$\Rightarrow \exists k \in N*$ :
$\begin{cases}
a_k < 0 \\
a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k
\end{cases}$
Ta có: $a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0 \Rightarrow$ dễ dàng CM được $a_{k} = 0$, vô lý.
CMTT với số dương.
b) Giả sử tồn tại $t \in N*$ : $19|a_t$. Dễ dành kiểm chứng $t \ge 7$. Gọi $A =$ {$x \in N* | 19|a_x$}, $k = minA (k \ge 7)$. Dễ dàng CM: $19|a_{k-5} \Rightarrow k-5 \in A$ (do $k-5 \in N*$) (vô lý do $k = minA$)
Do đó điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại phần tử nào thuộc dãy chia hết cho 19.


#603246 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng $4k+3$ ($k...

Gửi bởi UphluMuach trong 14-12-2015 - 21:43

Cho minh hỏi, có bạn nào biết cách CM định lý Dirichlet tổng quát về cấp số cộng không: Cho $(a; d)=1$. CM: trong cấp số cộng có số hạng đầu $a$ và công sai $d$, tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Xin cảm ơn rất nhiều.