Phát biểu lại đề bài như sau: tìm số các số nguyên $a \in A$ là số dư chính phương $\pmod{2016}$.
Ta có bổ đề sau: (CM bổ đề tương đối đơn giản, sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa)
"Cho $a$ là số dư chính phương theo các modulo $n_1, n_2,..., n_k$ và $(n_i; n_j) =1 \forall 1 \le i, j \le k, i \ne j$. Khi đó a là số dư chính phương modulo $n_1n_2...n_k$."
Trở lại với bài toán ban đầu, ta có: $2016 = 2^5.3^2.7 (= 32.9.7)$
Gọi $A_p$ là tập hợp các số dư chính phương modulo $p$, ta có:
$A_{32} =$ {$1; 9; 17; 25$}
$A_9 =$ {$1; 4; 7$}
$A_7 =$ {$1; 2; 4$}
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa và bổ đề trên, có $4.3.3 = 36$ số chính phương modulo $2016$.
Vậy số các số $a$ cần tìm là $36$.
- Zaraki, nhungvienkimcuong, minhrongcon2000 và 1 người khác yêu thích