nguyenquangtruonghktcute

Không mất tính tổng quát, giả sử $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$

Ta có: 

$M\leq x^{2}+y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\=2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:   $2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$         $\left ( * \right )$

Thật vậy, BĐT trên tương đương với:

$4x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+1\leq 0\\\Leftrightarrow \left ( 4x^{3}+3x-1 \right )\left ( x-1 \right )\leq 0$

Vì $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$ nên $x\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$, do đó:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}+3x-1\geq 0 & \\ x-1\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left ( * \right )$ luôn đúng

Vậy $\max M=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=0 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị

 Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

$\sqrt[3]{x^3-3\sqrt{x+1}-5}+x^3=x-1+(x-1)^3$

Cho x,y,z là các số thực dương CMR

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

 $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$