lamgiaovien2

Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.

Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:

Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.

Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.

Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Bài 1: Gọi số có dạng 201220122012...2012 (n số 2012) là F(n)

Theo diriclet trong các số F(1), F(2), F(3)...F(2012) sẽ tồn tại ít nhất 2 số sao cho 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011, Ta gọi 2 số đó là F(x), F(y) (x < y)

==> F(y) - F(x) chia hết cho 2011, F(y) - F(x) có dạng 20122012....201200000000 (4*k số 0), gọi số này là A

Lấy A chia cho 10^(4*k) ta được số có dạng 20122012...2012, gọi số này là B

Vì 10^(4*k) luôn không chia hết cho 2011 vậy B chia hết cho 2011, DONE!!

Hì, em chỉ góp chút cách giải câu 4, anh huy xem em làm dc k nè 

Gọi $B_{3}, B_{4}, B_{5}$ là số các chữ số có 3, 4, 5 chữ số được tạo thành

Theo nguyên lý cộng, số phần từ được tạo thành là $N(B_{3}\cup B_{4}\cup B_{5})=N(B_{3})+N(B_{4})+N(B_{5})=A_{5}^{3}+A_{5}^{4}+A_{5}^{5}=300$

Số số có 3 chữ số được tạo thành mà có tổng các chữ số bằng 10 là hoán vị của các số {1, 5, 4}, và {2, 3, 5}

=> Số số có 3 chữ số thỏa mãn YC đề bài là: $A_{3}^{3}+A_{3}^{3=12$

Số số có 4 chữ số được tạo thành mà có tổng các chữ số bằng 10 là hoán vị của các số {1, 2, 3, 4}

=> Số số có 3 chữ số thỏa mãn YC đề bài là: $A_{4}^{4}$

Không có bất kỳ số có 5 chữ số nào thỏa mãn YC đề bài

Vậy số phần tử thỏa mãn yêu cầu đề bài(tổng các chữ số =10) là $2*A_{3}^{3}+A_{4}^{4}=36$

Vậy xác xuất là 36/300=0.12

Không biết thế đúng chưa nhỉ anh Huy

ký tên lãm ctn 

góp một bài kèm lời giải cho diễn đàn 

Có

\begin{align*} \sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2}  =  &\sum \dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2} \\ = &\sum a -\sum \dfrac{ab^2}{a^2+b^2} \\ \stackrel{AM-GM}{\geqslant} & \sum a - \sum \dfrac{ab^2}{2ab} \\ = & \sum a - \sum \dfrac{b}{2} \\ = & \dfrac{1}{2} \sum a \end{align*}

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d$.

cosy ngược dấu à, cũng khá hay 

Mình thì chả có điểm j nổi bật nên k ai thích