lamgiaovien2

Topic này được lập ra là để chiêu mộ các lời giải độc đáo cho các bài toán số học hay (nhiều cách giải càng hay). Được sự ủng hộ của Juliel, mình quyết định lập ra topic này để trao đổi với các bạn về các vấn đề xung quanh số học, vốn cũng là một đề tài khá nóng hổi trong toán học. Mình sẽ cố gắng đưa ra nhiều bài toán hay và lạ (có thể là sưu tầm từ đâu đó, nếu là của mem trên diễn đàn mình sẽ nhập tên (khuyến khích lời giải sáng tạo, khác so với lời giải đã từng có), cũng có thể là do mình nghĩ ra). Rất mong được các bạn trên diễn đàn ủng hộ.

Sau đây mình xin nói sơ lược về số học: Số học là một bộ môn ra đời sớm hơn hết thảy các bộ môn khác. Các nhà toán học luôn tìm hiểu về quy luật của các con số, từ đó rút ra được các hiện tượng. Không phải bài toán số học nào cũng dễ nhận ra lời giải. Chẳng hạn như các bài toán lớn của Fermat. Theo như tôi bít thì Fermat có rất nhiều công trình vĩ đại trong hầu hết các lĩnh vực của toán học. Tuy nhiên cảm hứng của ông lại chính là lý thuyết số (nhờ cảm hứng từ cuốn "Số học" của Diophante). Ông có rất nhiều công trình vĩ đại trong lý thuyết số. Đặc bịt là bài toán lớn của Fermat ("Định lí cuối cùng của Fermat" của Simon Singh (các bạn nên đọc thử)) mà rất nhiều người bít:

Phương trình $x^{n}+y^{n}=z^{n};n=3,4,5,...$ vốn ko thể có nghiệm nguyên (x; y; z) khác 0.

Bài toán đã thách thức bộ óc nhiều thế hệ các nhà toán học.

Nói nhiu đây thôi. Tóm lại rất mong được trao đổi cũng các bạn. Sau đây là 2 bài đầu tiên:

Bài 1: Tồn tại hay ko số n sao cho số có dạng 2012201220122012...2012 (n số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2011?

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Bài 1: Gọi số có dạng 201220122012...2012 (n số 2012) là F(n)

Theo diriclet trong các số F(1), F(2), F(3)...F(2012) sẽ tồn tại ít nhất 2 số sao cho 2 số có cùng số dư khi chia cho 2011, Ta gọi 2 số đó là F(x), F(y) (x < y)

==> F(y) - F(x) chia hết cho 2011, F(y) - F(x) có dạng 20122012....201200000000 (4*k số 0), gọi số này là A

Lấy A chia cho 10^(4*k) ta được số có dạng 20122012...2012, gọi số này là B

Vì 10^(4*k) luôn không chia hết cho 2011 vậy B chia hết cho 2011, DONE!!

Giải hệ phương trình sau 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2}(x-y+3)=\sqrt{y} & \\ x^2+(x+3)(2x-y+5)=x+16 & \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c >0 thỏa mãn $ab+ac+bc=1$

Tìm min của $A=2a+3b+4c$

những dạng bất đằng thức có tích bằng 1 kiểu này thì bạn đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ rồi quy đồng sau đó chứng minh tương đương là ok

Đặt $\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sqrt{3}+x}=a & \\ \sqrt{\sqrt{3}-x}=b & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x=\frac{a^{2}-b^{2}}{2}$ và $a^{2}+b^2=2\sqrt{3}$ vậy ta có hệ pt 

$\left\{\begin{matrix}b=\frac{a^2-b^2}{2}a & \\ a^2+b^2=2\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Đến đây ta chỉ cần nhân tương ứng hai vế của pt là ta có một pt đẳng cấp bậc ba sau đó đặt a=tb rồi tìm t sau đó thế ngược lại, cách của mình hay chứ 

Câu 3

Ta cần CM $(a-b)(a+b)\vdots 4030$ $\Leftrightarrow a^2-b^2 \vdots 4030$

Ta xét các số $0,1,2^2,3^2...4030^2$ khi chia cho 4030

$0\equiv 0(mod 4030)$

$1\equiv 1(mod4030)$

$2^2\equiv 2^2(mod 4030)$

....

....

$63^2\equiv 63^2(mod4030)$

$64^2=(4030-3966)^2\equiv 3966^2(mod4030)$

$65^2=(4030-3965)^2\equiv 3965^2$

.....

.....

$4030^2\equiv 0(mod 4030)$

Qua các dãy số trên, ta nhận thấy 1 số chính phương khi chia cho 4030 chỉ có các số dư là:$0,1,2^2,3^3...3966^2$

Mà $3966^2\equiv 64^2(mod 4030)$

$3965^2\equiv 65^2(mod4030)$

Cứ tiếp tục như vậy, ta có $\frac{3966-64}{2}$ cặp số có cùng số dư khi chia cho 4030, còn 1 số có số dư khác với các số còn lại vì từ $64^2 \rightarrow 3996^2$ có $2.1951+1 số$ 

từ các điều trên ta thu được: có 63+1952=2015 số dư khi chia một số chính phương cho 4030

Áp dụng nguyên lý dirichlet ta có trong 2017 số chính phương bất kỳ, tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 4030

gọi 2 số đó là $a^2,b^2 (a> b)$

$\Rightarrow a^2-b^2\vdots 4030 \Leftrightarrow(a-b)(a+b)\vdots 4030$

mà $gcd(a-b;a+b)=1$

$\Rightarrow a-b\vdots 4030$ hoặc $a+b\vdots 4030$

vậy ta luôn có dpcm

Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn toán tin tỉnh thái nguyên

Bài toán số học( Đề thi IMO 2001)

Có 21 học sinh nữ và 21 học sinh nam tham dự vào một kỳ thi toán.

  Mỗi thí sinh giải được ít nhất là 6 bài 

  Với mỗi học sinh nữ và với mỗi học sinh nam tồn tại một bài toán giải được bởi cả 2 học sinh này 

Chứng minh rằng tồn tại một bài toán giải được bởi ít nhất 3 học sinh nữ và 3 học sinh nam,

Bài kế tiếp ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 DHSPHN ) 

Biết $a, b, c> 0$ và $a+b+c=2016$. Hãy tìm GTNN của $A=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

   Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 

Với n =2 thấy $S\notin Z$ 

Giả sử S đúng đến k, ta cần chứng minh S cũng đúng kến k+1

Thật vậy, $S\Leftrightarrow \frac{3}{4}+\frac{8}{9}+..+ \frac{k^2-1}{k^2}+\frac{(k+1)^2-1}{(k+1^2)}$

              $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{k^2+2k}{(k+1)^2}$(Với a, b nguyên tố cùng nhau và a, b nguyên)

               $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+1-\frac{1}{(k+1)^2} \notin Z$( vì $\frac{1}{(k+1)^2}$ là số thập phân)

vậy S ko là số nguyên với mọi n $\geq 2$

Bài tiếp theo ( đề thi vòng 1 DHKHTNHN) 

 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

Câu này 1 điểm, sau 2 ngày 2 đêm tự mần mò thì đã cm dc nhưng vẫn nghĩ là ko đúng lắm, mọi người giải hộ rồi mình đăng đáp án của mình xem mình làm đúng ko nhé

Bài tiếp theo ( đề thi vòng 1 DHKHTNHN) 

 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

Trong một hình vuông có cạnh bằng 10 cm, ta đặt 126 điểm bất kỳ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: có ít nhất 6 điểm trong số 126 điểm đã cho nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 10/7 cm.

                                         Sở Giáo Dục và đào tạo tỉnh Thái nguyên

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2015-2016

Câu 1 (2 điểm)

Tính A=$\sqrt{2015^{2}+2015^{2}2016^{2}+2016^{2}}$ 

Câu 2 (4 điểm)

Tìm các hệ số của đa thức $(a+b)^{8}$

Câu 3(6 điểm) 

CMR: $2^{10}+5^{12}$ là hợp số 

Câu 4(2 điểm)

CMR: Nếu số đo các cạnh của tam giác vuông là số nguyên thì số đo 2 cạnh của góc vuông không cùng lẻ 

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, P là trung điểm của AC.

a. CM BH=2 OP

b. cho L là trung điểm của BH. CM LP bằng bán kính của đường tròn (O)

Câu 6(3điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB=AC, BC=a . Trên BC lấy D, E sao cho góc BAD= góc DAE= góc EAC

a. tính DE theo a

b. So sánh BD và DE