Trung Kenneth

Vì a,b,c,d $\geq 0$

$\Rightarrow ab+bc+cd\leq ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=\frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ad=0 & & \\ a+c=b+d& & \\ a+b+c+d=1& & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=d=0 & & \\ b=c=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$

Hình như đây là bài trên báo Toán Tuổi Thơ số 156 thì phải!

Bài này đã được giải trên số 158 nhé, bạn tham khảo

Áp dụng Cosi: $\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự: $P=\sum \frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}$

$\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{4}$

Ta có: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3$

P$\geq \frac{3}{4}$

Tham khảo ở đây nhá 

http://violet.vn/phu...try_id/10584258

Từ gt : $a^3+b^3+c^3-3abc=1$$\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$ 

$\Rightarrow P=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

Đặt $a+b+c=t$ (t>0)

Ta có: $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{t^2-P}{2}$

$\Rightarrow P=\frac{1}{t}+\frac{t^2-P}{2}$

$\Rightarrow \frac{3P}{2}=\frac{1}{t}+\frac{t^2}{2}=\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t}+\frac{t^2}{2}\geq 3\sqrt{\frac{t^2}{8t^2}}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\geq 1$

                                                                                                                          ĐỀ THI SỐ 7

Câu 1: 

Cho biểu thức $A=(\frac{1}{3}+\frac{3}{x^2-3x}) :  (\frac{x^2}{27-3x^2}+\frac{1}{x+3})$

a, Rút gọn A

b, Tìm x để $A< -1$

c, Tìm x nguyên để A nguyên

Câu 2:

a, Tìm các chữ số a,b,c thỏa mãn : $\sqrt{\overline{abc}}-\sqrt{\overline{acb}}=1$\

b, Cho các số thực a,b,c khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}$

Câu 3:

a, Giải phương trình: $\frac{x^2+3x+3}{x^2-4x+3}+\frac{x^2+6x+3}{x^2+5x+3}= \frac{53}{12}$

b, Chứng minh rằng trong 144 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chon được 2 số sao cho khi viết liền kề nhau được 1 số có 6 chữ sô chia hết cho 143

Câu 4:

Cho x,y,z >0 thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm min $P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}$

Câu 5:

Cho $\triangle ABC$ nhọn có 3 đường cao AF, BK, CE cắt nhau tại H. Kẻ Ax vuông góc AB, Cy vuông góc BC. P là giao điểm Ax và Cy.

a, Chứng minh AHCP là hình bình hành.

b, O,D,E lần lượt là trung điểm BP, BC, CA. CMR: $\triangle ODE\sim \triangle HAB$

c, G là trọng tâm của $\triangle ABC$. CMR: O,H,G thẳng hàng

d, Tìm vị trí điểm A sao cho AF.HF max

                                                                          ĐỀ THI SỐ 4 

 

Câu 7: Tìm tất cả các số nguyên dương  $a$ để $a^4+a^3+1$ là một số chính phương.

 

Vì $a\in N ^{*}$ $\Rightarrow a^4+a^3+1> (a^2)^2$

Vì $a^4+a^3+1$ là số chính phương nên đặt $a^4+a^3+1=(a^2+k)^2$ ($k\in N^{*}$)

$\Rightarrow a^3-2a^2k=k^2-1\Rightarrow a^2(a-2k)=k^2-1$ (1)

Từ (1) $\Rightarrow k^2-1\vdots a^2$

Mà $k^2-1\geq 0$ nên $k^2-1=0$ hoặc $k^2-1\geq a^2$

 Với $k^2=1\Rightarrow k=1(k\in N^{*})$

 Thay vào được a=2 thỏa mãn

 Với $k^2-1\geq a^2$ và $k^2-1< k^2$

nên $a^2 < k^2$ suy ra $a<k$ mà $a,k\in N^{*}$ nên $a< 2k$$\Rightarrow a-2k<0$

mâu thuẫn với (1) vì $a^2(a-2k)< 0$ mà $k^2-1\geq 0$

Vậy a=2

Mọi người làm tạm đề này đã!

ĐỀ THI SỐ 3

 

 

Bài 5: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

 

 

Gọi độ dài 3 cạnh tam giác là a,b,c (alà cạnh huyền) ($a,b,c\in Z^{+}$; $a\geq b\geq c\geq 1$)

Từ gt $\frac{bc}{2}=a+b+c\Rightarrow bc=2(a+b+c)$ (1)  và  $b^2+c^2=a^2$ (2)

Từ (2) ta có: $(b+c)^2-a^2=2bc\Rightarrow (a+b+c)(b+c-a)=2bc$

Mà $bc=2(a+b+c)$ $\Rightarrow b+c-a=4\Rightarrow a=b+c-4$

Thay vào (1) $\Rightarrow bc=4(b+c-2)\Rightarrow (b-4)(c-4)=8$

Giải phương trình nghiệm nguyên với chú ý $b,c\geq 1$ 

được $(a,b,c)\in \left \{ (10,8,6) ; (13,12,5) \right \}$

 

Đề thi số 2

 

Câu 5:

Cho $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH. K và I lần lượt là giao điểm 3 đường phân giác của $\triangle ACH ; \triangle ABH$. KI cắt AB,AC tại M và N. Chứng minh:

a, $\triangle AHI\sim \triangle CHK$

b, $\triangle HIK\sim \triangle ABC$

c, $\triangle AMN$ vuông cân

d, $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}$ Biết rằng G là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ 

 

Câu 5/d:

Xét $\triangle BIH\sim \triangle BGA(g-g)$: $\widehat{ABI}=\widehat{HBI}$; $\widehat{IHA}=\widehat{GAB}=45$

$\Rightarrow \frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}=(\frac{BH}{AB})^2$

Vì $\triangle ABH\sim \triangle CBA(g-g)\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AH}{AC}$

Ta có: $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}= \frac{AH.BH}{AB.AC}=\frac{AH}{AC}.\frac{BH}{AB}$=$(\frac{BH}{AB})^2$ => ĐPCM

 

Đề thi số 2

Câu 1:  Cho biểu thức $A=(\frac{x+2}{2-x}-\frac{4x^2}{x^2-4}-\frac{2-x}{x+2}):\frac{x^2-2x}{2x^2-x^3}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A>0

c, Tìm x nguyên để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương

 

Câu 1/c:

Để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương thì $\frac{-1}{A}$ phải là số nguyên dương 

$\Rightarrow \frac{2-x}{4x^2}\in Z^{+}\Rightarrow 2-x\vdots (2x)^2\Rightarrow 2-x\vdots 2x\Rightarrow 4-2x\vdots 2x \Rightarrow 4\vdots 2x$

Vì $x\in Z\Rightarrow 2x\in Ư(4)$ $\Rightarrow x\in \left \{ 1;-1;2;-2 \right \}$(do x nguyên)

Kết hợp với ĐKXĐ $\Rightarrow x\in \left \{ 1;-1 \right \}$

Thử x=1,x=-1 không thỏa mãn 

Vậy không có x

Câu 2:

a) Ta có:

$\sqrt{2008}-\sqrt{2005}=\frac{3}{\sqrt{2008}+\sqrt{2005}}> \frac{3}{\sqrt{2010}+\sqrt{2015}}$

$\sqrt{2009}-\sqrt{2007}=\frac{2}{\sqrt{2009}+\sqrt{2007}}> \frac{2}{\sqrt{2010}+\sqrt{2015}}$

Cộng vế theo vế: $\sqrt{2008}-\sqrt{2005}+\sqrt{2009}-\sqrt{2007}> \frac{5}{\sqrt{2010}+\sqrt{2015}}=\sqrt{2015}-\sqrt{2010}$

$\Rightarrow \sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}> \sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}$

Hay A>B

b) Nếu y=0 ta có pt $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x\in \left \{ 2,3 \right \}$

Nếu y=1 ta có pt $x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0\Rightarrow x\in \left \{ 1,4 \right \}$

Nếu $y\geq 2$ thì $3^y\vdots 9$

Xét x=3k thì $x^2-5x+7$ không chia hết cho 3 => PT vô nghiệm

Xét x= 3k+1 thì $x^2-5x+7=9k^2-9k+3$ không chia hết cho 9 => PT vô nghiệm

Xét x=3k+2 thì  $x^2-5x+7=9k^2-3k+1$ không chia hết cho 3 => PT vô nghiệm

c,

Dễ nhận thấy rằng M là trực tâm của $\triangle EBC$

Gọi giao điểm của EM và BC là K $\Rightarrow EK$ vuông góc với BC

Ta có: $\triangle BMK\sim \triangle BCD(g-g)\Rightarrow \frac{BM}{BC}=\frac{BK}{BD} \Rightarrow BM.BD=BK.BC$

$\triangle CMK\sim \triangle CBA(g-g)\Rightarrow \frac{CM}{BC}=\frac{CK}{CA}\Rightarrow CM.CA=BC.CK$

Cộng vế theo vế

$BM.BD+CM.CA=BC(CK+BK)=BC^2$ không đổi

Hình ở trên rồi nha:

b, Vì $\widehat{BMC}=120$$\Rightarrow \widehat{AMB}=60$

Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{AED}$ (cùng phụ với $\widehat{EBD}$) $\Rightarrow \widehat{BED}=60$

Trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 bằng 1 nửa cạnh huyền

Xét $\triangle BED$$\Rightarrow ED=\frac{1}{2}EB$ 

Ta có: $\frac{S_{EAD}}{S_{ECB}}=(\frac{ED}{EB})^2=\frac{1}{4}$

Mà diện tích EAD=36 $\Rightarrow S_{EBC}=144$

Câu $1:$

   $a,$     

     ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x\neq \pm 2\\ x \neq 0 \end{matrix}\right.$

     Có $A=-(\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}-4}+\frac{4x^{2}}{x^{2}-4}+\frac{(2-x)(x-2)}{x^{2}-4}).\frac{x^{2}(2-x)}{x(x-2)}$

             $=\frac{x(4x^{2}+8x)}{x^{2}-4}=\frac{4x^{2}}{x-2}$

   $b,$

     Có $A>0\Leftrightarrow \frac{4x^{2}}{x-2}>0\Leftrightarrow x>2$ (do $4x^{2}>0, \forall a \neq 0$) 

     Vậy $x>2$ thì $A>0$

   $c,$

    Có $\frac{-1}{A}=\frac{2-x}{4x^{2}}$

    Để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương thì $2-x$ phải là số chính phương

    Đặt $x-2=k^{2}\Rightarrow x=k^{2}+2$

    Vậy với mọi $x$ có dạng $x=k^{2}+2$ thì $\frac{-1}{A}$ là số chính phương

Chưa chắc đâu em, bài này cho kết quả là không tồn tại x 

Em thử k=1,2,3,... không cho kết là "số chính phương" , hình như em hiểu nhầm thành bình phương 1 số hữu tỉ

Để làm bài này trước hết phải tìm x sao cho $\frac{-1}{A}$ là số nguyên dương trước đã

Anh xin góp 1 đề nha:

Đề thi số 2

Câu 1:  Cho biểu thức $A=(\frac{x+2}{2-x}-\frac{4x^2}{x^2-4}-\frac{2-x}{x+2}):\frac{x^2-2x}{2x^2-x^3}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A>0

c, Tìm x nguyên để $\frac{-1}{A}$ là số chính phương

Câu 2:

a, Cho $A=\sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}$ và $B=\sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}$

Không sử dụng máy tính, hãy so sánh A và B

b, Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn $x^2-5x+7=3^y$

Câu 3:

Giải phương trình : $(x+1)^4+(x-3)^4=82$

Câu 4:

a,Chứng minh bất đẳng thức sau đây: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$ (a,b,c là các số dương)

b, Cho x,y,z>0 và $x+y+z=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

c, Cho các số thực dương x,y,z,t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng: $P=\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$

Câu 5:

Cho $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH. K và I lần lượt là giao điểm 3 đường phân giác của $\triangle ACH ; \triangle ABH$. KI cắt AB,AC tại M và N. Chứng minh:

a, $\triangle AHI\sim \triangle CHK$

b, $\triangle HIK\sim \triangle ABC$

c, $\triangle AMN$ vuông cân

d, $\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{BIH}}{S_{ABG}}$ Biết rằng G là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$