misakichan

Bài này bình phương lên là ra được mà bạn , nó sẽ ra căn (xy)=1=> ... Nhưng sau khi tính x, y xong bạn phải thử lại vì chỗ bình phương chỉ là suy ra chứ không phải tương đương.

mình thấy khi bình phương 2 vế thì xuất hiện 2 dấu căn cơ mà

$*$ Bổ đề: Cho tam giác $ABC, AM$ trung tuyến $, N \in BC$. Khi đó $\widehat{BAM} = \widehat{CAN} \Leftrightarrow  \frac{BN}{NC} = (\frac{AB}{AC})^{2}. AN$  được gọi là đường đối trung của $\Delta ABC.$

Quay lại bài toán.

Chú ý $\widehat{BDA}=\widehat{BAC};\widehat{BAD}=\widehat{BCA} \Rightarrow \Delta BDA \sim \Delta BAC\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BA}.\frac{BA}{AC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Mặt khác $\widehat{DBM}=\widehat{BDA}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=\widehat{MBC} \Rightarrow \frac{DM}{MC}=\frac{DB}{BC}=(\frac{DA}{AC})^{2}.$

Áp dụng bổ đề có ngay đpcm

chứng minh bổ đề thế nào vậy bạn?

Ta có: $3xyz(x+y+z)\le (x+y+z)^2;xy+yz+zx=\dfrac{(x+y+z)^2-3}{2}$

Và dễ có: $t=x+y+z\in [\sqrt{3};3]$

Làm sao để đánh giá phần in đậm >= 0 vậy?

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$A^{2}=x^{2}\left ( \sqrt{13}.\sqrt{13-13x^{2}}+3\sqrt{3}.\sqrt{3+3x^{2}} \right )^{2}\leq x^{2}(13+27)(13-13x^{2}+3+3x^{2})=40x^{2}(16-10x^{2})=4.10x^{2}(16-10x^{2})\leq (10x^{2}+16-10x^{2})^{2}=16^{2}$

$\Rightarrow A\leq 16$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

bạn có thể cho mình biết có kĩ thuât nào để tách ra như vậy ko?

Ta có 

$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}$

mà lại có 

$\sqrt{(2a^{2}+4)(5a^{2}-a)}\leq \frac{2a^{2}+4+5a^{2}-a}{2}=\frac{7a^{2}-a+4}{2}$

=>$\sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$

=>$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$

tại sao lại có đc đánh giá đầu tiên vậy?