misakichan

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương x lẻ, x>1 thì $\frac{3^{x}+1}{x} \notin N$

Cho x, y, z> 0. CMR:

$\frac{2z^2}{(x+y)(x+y-z)}+\frac{2x^2}{(z+y)(z+y-x)}+\frac{2y^2}{(x+z)(x+z-y)}\geq \frac{x+y}{z}+\frac{z+y}{x}+\frac{x+z}{y}-3$

(Đặt a+b=x, c+a=y, b+c=z)

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} a,b> 0\\ a^{4}+14a^{2}b^{2}+b^{4}=\frac{17a+15b}{a^{2}+b^{2}}\\ a^{4}-b^{4}=\frac{15a-17b}{4ab} \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c>0 và abc=1

CMR: $(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)+4\geq 4(a+b+c)$

Cho dãy số $x_{1}, x_{2}, x_{3},...$mà

$x_{1}=1, x_{2}=3, x_{n+2}=2x_{n+1}-x_{n}+1$

CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Cho x,  y, z khác 0:

CMR: $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^2}\geq \frac{3}{5}$

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z $\leq \frac{3}{2}$

Tìm min $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=15\\ \frac{ab}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+ca+a^{2}}=1 \end{matrix}\right.$

Tìm 5 số nguyên dương P nhỏ nhất sao cho $P^{2}-1$ là tích của 3 số nguyên tố phân biệt 

Cho hình vuông ABCD. I là 1 điểm trong tam giác ABC. H, K lần lượt là giao điểm AI, CI với BC, AB. Gọi Q là trung điểm HK. Vẽ M đối xứng với B qua Q. CM: khi I di chuyển trong tam giác ABC thì MI luôn đi qua 1 điểm cố định là D.

$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi

[hide] Nếu có sai sót thì hãy sửa cho mình nha 

$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. E $\epsilon$ BC. E $\neq$ B, C. Gọi H, F lần lượt là hình chiếu của E xuống AB, AC. Gọi K là giao điểm CH, BF. CM: Đường thẳng EK luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di chuyển trên BC.

Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2p thỏa mãn: 15yz + 10zx + 1964xy= 2023xyz

Tìm GTNN: $K=\frac{1974}{p-x}+\frac{1979}{p-y}+\frac{25}{p-z}$

Ta sẽ chứng minh AM=AK

Đặt $AB=AC=3a$ thì $BC=3a\sqrt{2}$

$CM^2=AM^2+AC^2=a^2+9a^2=10a^2\Leftrightarrow CM=a\sqrt{10}$

Gọi D là điểm trên AC sao cho $AD=AM=a$; $E'=CM\cap ND$

Thi $MD//BC;MD=\frac{1}{3}BC$

Suy ra: $\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

Theo định lí Thales: 

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{E'D}{E'N}=\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{ME'}{MC}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow ME'=\frac{2a\sqrt{10}}{5}; CE'=\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

$\Rightarrow CE'.CM=CD.CA(=6a^2)$ nên Tứ giác $MADE'$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CE'D}=90^o\Rightarrow CM \perp ND$ Mà $CM \perp NK$ nên $D\equiv K; E\equiv E'$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta BCA$ với cát tuyến NMG ta có: 

$\frac{CN}{NB}.\frac{BM}{MA}.\frac{GA}{GC}=1 \Leftrightarrow AG=GC$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta MKC$ với cát tuyến EHG ta có:

$\frac{CE}{EM}.\frac{MH}{HK}.\frac{GK}{GC}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{3a\sqrt{10}}{5}}{\frac{2a\sqrt{10}}{5}}.\frac{MH}{HK}.\frac{4a}{6a}=1\Leftrightarrow MH=HK$

$\Delta EMK: \widehat{MEK}=90^o;HM=HK \Rightarrow EH=HM=HK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta GEC$ với cát tuyến KHM ta có: 

$\frac{CK}{KG}.\frac{GH}{HE}.\frac{ME}{MC} =1\Leftrightarrow \frac{2a}{4a}.\frac{GH}{HE}.\frac{2}{5}=1\Leftrightarrow \frac{GH}{HE}=5\Leftrightarrow \frac{GE}{HE}=6\Leftrightarrow GE=6HE=6.\frac{a\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}=BC$

Vậy $GE=BC; HE=HM$

bạn còn cách nào khác ko? thực ra nhiều kiến thức ở đây mình chưa học