misakichan

Chứng minh rằng với mọi x,y ta có:

$\frac{\left | x \right |}{2008+\left | x \right |}+\frac{\left | y \right |}{2008+\left | y \right |} \geq \frac{\left | x-y \right |}{2008+\left | x-y \right |}$

GTNN của biểu thức có được khi x nhỏ nhất và y lớn nhất $\Rightarrow$ x=-10;y=5$\Leftrightarrow$ x²-y²=(-10)²-(5)²=100-25=75.

GTLN có được khi x lớn nhất và y nhỏ nhất $\Rightarrow$ x=10;y=-3 $\Leftrightarrow$ x²-y²=10²-(-3)²=100-9=91

bạn tự kết luận nha

bạn ns sai hết r!   

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x² - y² biết $-10\leq x\leq 10$ và $-3\leq y\leq 5$

$2ab\leq 3a+4b\Rightarrow b\leq \frac{3a}{2a-4}$            (mấu khác 0)

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}.$

Xét:

$P-25\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25$

Dự đoán P_max=25 nên ta CMR $P\leq 25\Leftrightarrow P-25\leq 0$

Thật vậy:

$P-25\leq 0\Leftrightarrow (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25=\frac{4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400}{(2a-4)^{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400\leq 0 \Leftrightarrow (a-4)(4a^{3}-75a+100)\leq 0\Leftrightarrow 4a^{3}-75a+100> 0$   (*)

(Do $a\leq 4$)

Điều (*) sẽ là hiển nhiên nếu $\frac{5\sqrt{2}}{2}\leq a\leq 4$ 

Còn nếu  $0< b< a\leq \frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow P< 2a^{2}\leq 25$   

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=3$

Vậy P_max=25

cảm ơn bạn

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn:

$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17$

Cho $0< b< a\leq 4$ và $2ab \leq 3a+4b$

Tìm GTLN của $a^{2}+b^{2}$

Ta có: 

$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$    

sao mà đặt a,b,c như z đc ???

Cho a,b,c>0:

CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$