dungxibo123

câu 1: giải phương trình $f(x)=0$ cho ta $x=-1$ giải phương trình $f(x)=-1$ cho ta $x=-\frac{1}{2}$
tiếp tục như vậy ...
và để ý rằng $f(x)=x$ tương đương với $f(f(x))=0$

bài 3:

a) đặt $\left | a_{1}-1 \right |=\left | a_{2}-2 \right |=...=\left | a_{n}-n \right |=k\neq 0.$

thế xét dãy các số $A_{i} =\left \{  a_{i}-i, a{i+k}-i-k, a_{i+2k}-i-2k,..., a_{i+qk}-i-qk \right \} $ , ở đây số $q$ là số lớn nhất sao cho $i+qk<n$

với ta có $a_{i}-i=k$ hoặc $a_{i}-i=-k$ lúc đó thì sau khi hoán vị thị $a_i$ phải là $i+k$ còn nếu số $a_{i+k}$ là $i+2k$ thì cứ tiếp tục như vậy số $a_{i+qk}$ sẽ là $i+(q+1)k$ thế nên điều này là vô lý. vậy ta đã chứng minh được sau khi hoán vị thì sẽ có các cặp chỉ hoán đổi vị trí cho nhau mà thôi. Nên số $n$ phải là số chẵn
b) Ta thấy cách chia ở câu a là cách chia duy nhất mà ta có thể làm

Ta sẽ chứng minh $2k$ nhận tất cả các ước dương của $n$
dễ thấy nếu $n=2kq$ thì ta chia $n$ số thành $q$ bộ $2k$ số theo như câu $a)$ thì ta sẽ có 1 hoán vị thỏa mãn
giờ nếu $n=2kq+c$ và $c<2k$ thì ta vẫn phải chia nhưng do $c<2k$ nên nếu tiếp tục quá trình ở câu $a)$ thì có một số bộ $A_{i}$ có số lẻ số và như câu $a)$ thì điều này là không thể. Ta hoàn tất chứng minh.

ngày 2  câu 2 (a): với mọi $m <2n-1$ ta có thể chọn $a+b=m+1$ thì suy ra $a^2-a $ đồng dư $b^2-b$ module $m$

mở rộng câu 3 (sưu tầm)(St. Peterburg City Mathematical Olympiad):

chứng minh đến 1 lúc nào đó các số đó không thay đổi

Xét tất cả các tập hợp $ X={a_1,a_2,...,a_n} \subset \mathbb{N}^* $ với $ n \in \mathbb{N}^*$ có tính chất: khi ta bỏ một phần tử bất kỳ trong X thì tập còn lại có thể phân hoạch thành hai tập con khác rỗng sao cho tổng tất cả các phần tử trong mỗi tập con đó bằng nhau. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $n$

Cho dãy $(u_n)$ thỏa:

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{n}+\frac{n}{u_n} \end{matrix}\right.$

$$1=a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)^2a^2+b^2]+\frac{1}{2}[b^2+(sqrt{3}-1)^2c^2]+(\sqrt{3}-1)(b^2+c^2)$$

$$\geq a(\sqrt{3}-1)b+bc(\sqrt{3}-1)+2(\sqrt{3}-1)bc=(\sqrt{3}-1)(ab+bc+2ca)$$

Do đó $ab+bc+2ca \leq \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $(\sqrt{3}-1)a=(\sqrt{3}-1)c=b$. Thay vào điều kiện, ta được giá trị của $a,b,c$.

tìm min mà ? sao cuối cùng lại ra max vậy anh ơi ?

Cho $a,b,c >0$ chứng minh rằng:

$\sum{\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}} \geq 1$

Tìm $m,n$ nguyên dương để $\frac{n^3+1}{mn-1}$ là số nguyên

Có tồn tại hay không đa thức $P(x)=x^2+ax+b$ với $a \neq 0$ và $a^2-4b \neq 0$

nhận giá trị chính phương tại $2010$ điểm phân biệt. Đa thức thuộc trường số nguyên

$b=0 c=0 a=3$ thế vào ra sai rồi/
thậm chí dùng cauchy cũng chứng minh điều ngược lại được mà
 

bài toán này có lẽ là sai
lấy $a=kp^{2}+1$ thì ta thấy $a^{p-1}-1 \vdots p^2$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn

$(3a+2b+c)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})$
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\frac{b+2c-1002\sqrt{72a^{2}+c^2}}{a}$

cho dãy $(a_{n})$ xác định bởi: