motcongmotlonhon2

Cho $a,b > 0$ và $a+b=4$.Tìm Min của $A=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$

Ta có $:$ $A=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}} \geq \sum \frac{2a}{b^2+2}$

Mà $:$  $ ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} =4 $

Áp dụng đinh lí $scharz$ ta có :

A=$ \sum \frac{2a}{b^2+2} = 2*\sum \frac{a^2}{ab^2+2a} \geq 2* \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)+2(a+b)} = \frac{32}{4ab+8} \geq  \frac{4}{3} $

Đẳng thức xảy ra khi $:$ $a=b=2$

Ta có : 

$\sum \frac {a^3}{b^2+3}  =\sum \frac {a^3}{(b+c)(a+b)} $

 Áp dụng đinh lí $AM-GM$ ta có :

$\sum \frac {a^3}{(b+c)(a+b)} +\frac {b+c}{8} +\frac {a+b}{8}  \geq \frac {3a}{4}$

$\rightarrow \sum \frac {a^3}{(b+c)(a+b)} \geq \sum \frac{a}{4}  \geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ac)}}{4} = \frac{3}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Vậy $....$

Câu 2:

Sơn Dương.