quanhuongcvp

Ở đây mình dùng AM-GM với 2 số dương a^6 và a^2 chứ không dùng đánh giá >0 như bạn
a^6 + a^2 >= 2a^4

Dễ thấy a #0. Ta có a⁶ - a⁴ + a²  = 2a >= a⁴  (Theo AM-GM) suy ra a>0

Do đó 0 < a³ < 2 (Dấu bằng không xảy ra), a⁶ < 4

Vế còn lại chứng minh phản chứng 

Pt tương đương: 4(x²  + x + 2) = (2y)² 

 -> (2y - 2x -1)(2y + 2x +1) = 7

Pt có 4 nghiệm nguyên (x,y)= (1;2) ; (-2;2) ; (-2;-2) ; (1;-2)

Đặt  $x=a^3$ $y=b^3$ $c=z^3$ suy ra $abc=1$

Áp dụng $a^3 + b^3 \ge ab(a+b) $ và thay $1=abc$ vào dưới mẫu ta có $đpcm$

chung ý tưởng

Đặt x=a³, y=b³, z=c³  suy ra abc=1

Ta có: a³ + b³ +1  >= ab(a+b+c) (Do abc=1) từ đó suy ra đpcm