Visitor

Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(a,b,c)=1$ , $a^2+b^2=c^2$, $a^2=b+c$

Từ gt suy ra $c^2-b^2=b+c\Rightarrow c-b=1\Rightarrow c=b+1$

thay lại vào đề ta được $a^2=2b+1$.

Vậy các bộ a,b,c thỏa đề là : $t,\frac{t^2-1}{2},\frac{t^2+1}{2}$ với $t$ nguyên dương lẻ lớn hơn 1.

 

 

Bài 37. [AoPS] Với mỗi số nguyên $r$, chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n_r$ sao cho với mọi số nguyên $n>n_r$ tồn tại ít nhất một số nguyên dương $k$ thoả mãn $1 \le k \le n-1$ và $p^r$ là ước của $\binom{n}{k}$ với $p$ là số nguyên tố nào đó.

Lời giải của mình.

Lấy $p,q$ là hai số nguyên tố bất kì.

Với mỗi $r$ chọn $n_r=max(p^r,q^r)+100$

Xét số nguyên $n$ bất kì lớn hơn $n_r$. Ta thấy luôn luôn có $p^a-1\neq q^b-1$ do $p\neq q$ nên $n$ ko thể có cả hai dạng $p^a-1$ hoặc là $q^a-1$

Giả sử $n\neq p^a-1$, khi đó biểu diển $p$-phân của $n$ sẽ có chữ số tận cùng khác $p-1$.

Ta sẽ sử dụng định lí $Kummer$

Giả sử $n=(b_tb_{t-1}...b_1b_0)_p$ với $b_0\neq p-1$ và do cách chọn $n_r$ nên $t>>r$.

CHọn $k=[b_rb_{r-1}...b_1(b_0+1)]_p$ 

Dễ thấy rằng khi trừ $n-k$ trong hệ $p$-phân sẽ được kết quả là một số có $r+1$ chữ số tận cùng bằng $p-1$ ( $p-1$ là chữ số lớn nhất trong hệ cơ số này)

Khi đó thì phép cộng $n-k$ với $k$ sẽ nhớ ít nhất là $r$ lần, theo định lí $Kummer$ ta có $v_p\binom{n}{k}\geq r$.

Ta có đpcm.

Bài 40.   Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho với mọi sô thuộc tập $\{0,1,2,..,m-1\}$ đều đồng  dư với một số dạng $x^2+y^2$ mod $m$.

Lời giải bài $30$ 
Chọn $n=16.a^{8}$ 
$n^2+n+1=(4a^4-2a^2+1)(4a^4+2a^2+1)(4a^4-4a^3+2a^2-2a+1)(4a^4+4a^3+2a^2+2a+1)$

Ta chỉ cần quan tâm đến việc chọn $4a^4+4a^3+2a^2+2a+1,4a^4+2a^2+1$ như thế nào là đúng đắn nhất 
Chọn $a \equiv 1 \pmod{7},a \equiv 1 \pmod{13}$ hay $a \equiv 1 \pmod{91}$ 
Khi đó $\sqrt{n}=4a^4>\frac{4a^4+4a^3+2a^2+2a+1}{13},\frac{4a^4+2a^2+1}{7}$ 
Như vậy các ước nguyên tố sau luôn sẽ bé hơn mấy số này 
P/s : Khá khó khăn trong việc chọn modulo 

Nếu đã phân tích được thế kia thì chọn modulo có khó khăn gì đâu em. Cho anh hỏi em biến đổi biểu thức kia ntn thế?   quá khủng

Lời giải bài 29.

Giả sử tồn tại $P(x),Q(x)$

Do $lim \pi(x)=+\propto$ nên $degP>degQ$

Mà $lim \frac{\pi(x)}{x}=0\Rightarrow lim\frac{P(x)}{xQ(x)}=0\Rightarrow degP<degQ+1$
Mâu thuẫn. Vậy ta có đpcm.

Bài 30. Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên $n$ sao cho tất cả ước nguyên tố của $n^2+n+1$ đều ko lớn hơn $\sqrt{n}$

Lời giải bài 8.

a/ thay các lá bài bằng các số từ $1$ đến $13$ . Anne sẽ gọi lần lượt từ số $1$ tới số $13$, lặp lại một số vòng gọi như vậy. Giả sử ô trống nằm giữa $2$ số $i<j$ thì khi gọi đến $i$,số $i$ sẽ chuyển vào chỗ trống. Khi đó sẽ có 2 số cạnh ô trống là $i$ và một số $k$ nữa. Nếu $k>i$ thì khi gọi đến $k$ $k$ k sẽ di chuyển vào ô trống, và $i$ bh ko cạnh ô trống nữa, còn nếu $k<i$ thì $k$ sẽ dịch chuyển vào ô trống trong vòng gọi thứ 2. Tóm lại $i$ sẽ ko ở cạnh ô trống nữa và sẽ có số khác nhảy vào ô trống. Như vậy sau 1 số bước thì các quân bài ko còn ở vị trí ban đầu nữa.

b/Để quân Át, tức số $1$ ko năm cạnh ô trống thì Anne chỉ việc gọi như phần a/ nhưng sẽ bắt đầu gọi từ $2$ đến $13$. Số $1$ sẽ đứng im còn ô trống sẽ thay đổi nên sẽ có lúc nào đó số $1$ ko nằm cạnh ô trống.