Kienbtw

Mình xin nói qua một chút về câu 4 phần b.

Trước tiên ta phát biểu bổ đề sau:

Với một bảng với kích thước hai cạnh $4x, 4y$ ($x, y$ nguyên dương) và một cách trồng cây ấn tượng thì ta phải có hiệu số của hai loại cây trên mỗi hàng hoặc cột bằng đúng một nửa số lượng cây trên hàng hoặc cột đó.

Trước tiên, ta sẽ dùng bổ đề này để suy ra lời kết quả bài toán.

Xét một khu vườn kích thước mxn và được trồng bằng hai loại cây $A, B$ một cách ấn tượng. Như vậy, nếu ta đem ghép $4x4= 16$ khu vườn như vậy lại, ta vẫn có một cách trồng cây ấn tượng cho khu vường kích thước $(4m)x(4n)$, theo bổ đề ta suy ra hiệu số của hai loại cây trong mỗi hàng là $2n$.

Để ý rằng vì ta ghép $16$ khu vườn nhỏ y hệt nhau nên hiệu số hai loại cây trong mỗi hàng của khu vườn $mxn$ sẽ là $\frac{n} {2}$, từ đây ta suy ra được $n$ phải là bội của $4$, tương tự cho $m$.

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề để hoàn tất lời giải.

Xét khu vườn gồm $4x$ cột và $4y$ hàng được trồng ấn tượng bởi hai loại cây $A, B$. Ta gọi một hàng là tốt nếu hàng đó có nhiều cây loại $A$ hơn, là hàng xấu nếu có nhiều loại cây $B$ hơn.

Giả sử có $k$ hàng tốt ($k$ nguyên dương). Từ dữ kiện mỗi hàng tốt có ít nhất $3x$ cây loại $A$, mỗi hàng xấu có tối đa $x$ cây loại $A$ và tổng số cây loại $A$ là $8xy$, ta suy ra bất đẳng thức $8xy\leq k.4x+ (4y-k).x$, suy ra $k>y$, ta cũng có $8xy\geq k. 3x$ nên $k<3y$.

Xét các hàng tốt, thì số cây loại $A$ trong những hàng này ít nhất là $8xy- (4y-k)x$ ( trừ đi mỗi hàng xấu chỉ có tối đa $x$ cây loại $A$). Coi $k$ hàng này là một bảng riêng, ta đếm được số cột có nhiều hơn $y$ cây loại $A$ trong bảng không nhỏ hơn $\frac{kx}{k-y}$

Chú ý rằng, những cột tương ứng này trong bảng $4x$ cột và $4y$ hàng cũng sẽ có nhiều hơn $y$ cây loại $A$, điều này có nghĩa mỗi cột này có ít nhất $3y$ cây loại $A$ (giả thiết ii)

Như vậy, ta suy ra được tất cả các hàng xấu phải đóng góp thêm ít nhất  $(3y-k). \frac{kx}{k-y}$ cây loại $A$ để cho đủ cây trong các cột vừa nhắc tới, từ đây suy ra

$(3y-k). \frac{kx}{k-y}$ không vượt quá $(4y-k)x$. Biến đổi trực tiếp ta sẽ thu được $k\geq 2y$. 

Hơn thế nữa, vì vai trò của hai loại cây $A$ và $B$ là như nhau nên ta suy ra số hàng xấu cũng không nhỏ hơn $2y$, vậy phải có đúng $2y$ hàng xấu và $2y$ hàng tốt và tất cả các bất đẳng thức dẫn đến đánh giá trên phải xảy ra "dấu bằng", từ đây ta suy ra được kết quả của bổ đề.

(Đây không hẳn là lời giải mà chỉ là các ý chính để giải bài toán, các bạn nên kiểm tra cụ thể lại từng bước tính toán và suy luận)