Đây là lời giải của mình:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\sum a-\sum \frac{3}{ab^2+3b}\leq \frac{3}{4}$
<=>$\sum \frac{3}{ab^2+3b}\geq \sum a-\frac{3}{4}$
Mà theo 1 bất đẳng thức cơ bản :$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$(mà$a+b+c=3$)
<=>$a+b+c\leq 3$
<=>$a+b+c-\frac{3}{4}\leq \frac{9}{4}$
Bây giờ chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:
$\sum \frac{3}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{4}$
<=> $\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{3}{4}$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức cơ bản:$\sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}$
<=> $\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{\sum ab^2+3\sum a}$ (mà $a+b+c\leq 3$)
<=>$\sum \frac{1}{ab^2+3b}\geq \frac{9}{\sum ab^2+9}$
Vậy (1) đúng nếu ta chứng minh được:
$\sum ab^2\leq 3$
Thật vậy theo bất đẳng thức CBS ,có: $(\sum ab^2)^2\leq (\sum a^2)(\sum a^2b^2)$
Và bất đẳng thức cơ bản: $(\sum a^2b^2)\leq\frac{ (\sum a^2)^2}{3}$
<=> $(\sum ab^2)^2\leq \frac{(\sum a^2)^3}{3}=9$ (do $\sum a^2= 3$)
<=> $\sum ab^2\leq 3$
<=>(1) đúng
<=>ĐPCM
Đẳng thức xảy ra<=>$a=b=c=1$
- nbat1101 yêu thích