ngochapid

Vì $gcd(x,x^2+1)=1$ suy ra
Hoặc $xy-1\; |;x$ hoặc $xy-1\; | \;x^2+1$
Trường hợp 1 ta có: $\begin{Bmatrix}x-1\le xy-1 \le x \\ xy-1\; | \;x\end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}xy-1 &=x \\ xy-1 &=1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x(y-1) &=1 \\ xy &=2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}x=1;\;\;\; y=2 \\ x=2;\;\;\; y=1 \end{bmatrix}$

Trường hợp 2 xét modulo $x$ ta có: $\begin{Bmatrix}xy-1 &\equiv -1 \pmod{x} \\ x^2+1 &\equiv 1 \pmod{x} \end{Bmatrix}\Rightarrow -1\equiv 1 \pmod{x}\Rightarrow 2\equiv 0 \pmod{x}\Rightarrow x=1 \text{ hoặc } x=2$

Thay các giá trị $x$ vào biểu thức ta tìm được $y$

Cuối cùng các giá trị phải tìm là $(x,y)\in\{(1,2);(1,3);(2,1);(2,3)\}$
--------------------------------

Tại sao từ cái này có thẻ suy ra được cái này hả thầy? 

Tại vì ví dụ như $gcd(2,3)=1$ nhưng $ 6| 2.3$ mà đâu phải $6|2$ hay $6|3$ đâu  ạ? 

Cho ba số dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1 $

Bài toán: Cho $n$ số thực $a_1;..;a_n$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3$

Chứng minh rằng $\left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_n}{n+1} \right |<\sqrt{2}$

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

Gt $\Leftrightarrow \overline{ab}=(a+b)\sqrt{a+b} (*)$ $=>$ $a+b$ là số chính phương

Mà $1\leq a+b\leq 18$

$\Rightarrow a+b\epsilon \left \{ 1;4;9;16 \right \}$

Thay vào $(*)$ suy ra đpcm

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

Bài này lại phải xét hai trường hợp $A$ thuộc cung nhỏ $BC$ và không thuộc cung nhỏ $BC$ sao? 

chỗ này có chút nhầm lẫn phải không ???

minh nghĩ là: $3(\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\sqrt[3]{yz})\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+yz$

   

Mình xin lỗi, chỗ đó là tích nhé

Sửa lại thành $3\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq (\frac{2}{9}+yz)$

A=  $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

   =  $\frac{x^3+xyz}{x^2+yz}-\frac{xyz}{x^2+yz}+\frac{y^3+xyz}{y^2+zx}-\frac{xyz}{y^2+zx}+\frac{z^3+xyz}{z^2+xy}-\frac{xyz}{z^2+xy}$

  = $(x+y+z)-xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$

  = $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ (1)

+)cần cm: $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy} < 1$

xét (1) có:$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ luôn >0 (vi x,y,z >0)

     => $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}) <0$

=> A < 1 (dpcm)

còn 1 cái đag nghĩ ....

Mình xin luôn đoạn đầu để nêu ý tưởng ý còn lại của mình

Áp dụng $AM-GM$ cho cả ba mẫu ta được: $xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})\leq \sum \frac{xyz}{3\sqrt[3]{x^2yz}}=\sum \frac{\sqrt[3]{x\left ( yz \right )^2}}{3}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\sum \sqrt[3]{yz}$

Đến đây tiếp tục sử dụng $AM-GM$ $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq 3(\frac{2}{9}+yz)$

Tương tự với các trường hợp còn lại, cộng theo vế rồi áp dụng bđt $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$ 

Ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{2}\leq \frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+y^{2})(1+x^{2})}\leq 1+\frac{1-y^{2}x^{2}}{(1+yx)^{2}}=\frac{2}{1+yx}$

$\Rightarrow$ đpcm

Anh ơi, từ đâu để nghĩ ra (những) ý tưởng này ạ? Nên xuất phát từ đâu há anh?  

Cho $0\leq a,b\leq 1$ 

Tim $maxP=\frac{a}{\sqrt{2b^2+5}}+\frac{b}{\sqrt{2a^2+5}}$

câu 9:$2x^2+2y^2+2z^2\geqslant 2xy+2yz+2zx(1)$;$x^2+y^2+z^2+3\geqslant 2x+2y+2z(2)$. từ (1) và (2) ra thui những bài BĐT này khá dễ chỉ nhìn qua nhìn qua cà biết các số x=y=z thì dễ giàng giải nhờ các BDDT kinh điển
 

tại sao lại có chỗ màu đỏ?

Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( a khác $0$) có hai nghiệm $x_1;x_2$  thỏa mãn $ax_1+bx_2+c=0$. Gía trị biểu thức $M=a^2c+ac^2+b^3-3abc$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{4x-3}{x^2+1}$

Cho tam giác ABC có AB\ne AC biết góc B và C là các góc nhọn
đường cao AH, trung tuyến AM. Biết các góc BAH, MAC, HAM bằng nhau
CMR  góc BAC= 90 độ