Đến nội dung

githenhi512

githenhi512

Đăng ký: 14-01-2016
Offline Đăng nhập: 26-06-2019 - 12:27
****-

#708386 $x_{n+1}=\frac{(2x_{n}+1)^{2}...

Gửi bởi githenhi512 trong 14-05-2018 - 21:38

Ta có: $x_{n+1}-x_{n}=\frac{(2x_{n}+1)^2}{2}(1) \geq 0 \Rightarrow$ dãy tăng.

Giả sử dãy số bị chặn trên. Gọi $lim x_{n}=a\geq 1 \Rightarrow a= \frac{(2a+1)^2}{2}+a\Rightarrow a=\frac{-1}{2}$( loại)

$\Rightarrow lim x_{n}=+\propto$

Từ (1) $\Rightarrow \frac{2x_{n}+1}{2x_{n+1}+1}= \frac{2(x_{n+1}-x_{n})}{(2x_{n}+1)(2x_{n+1}+1)}= \frac{1}{2x_{n}+1}-\frac{1}{2x_{n+1}+1}$

 $\Rightarrow \lim\sum_{i=1}^{n}\frac{2x_{i}+1}{2x_{i+1}+1}=lim(\frac{1}{2x_{1}+1}-\frac{1}{2x_{n+1}+1})=\frac{1}{3}$




#695810 Phương Trình Và Hệ Phương Trình

Gửi bởi githenhi512 trong 29-10-2017 - 23:16

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}=x+4$.

Bài 2: Giải hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix} x^2y^2+1=2y^2\\ (xy+1)(2y-x)=2x^3y^2 \end{matrix}\right.$.

b) $\left\{\begin{matrix} 3x^2y=8-2x^3\\ xy^2 = 2x+6 \end{matrix}\right.$

 

Bài 1:

$pt \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+x+9}-(\frac{1}{2}x+3)+\sqrt{2x^2-x+1}-(\frac{1}{2}x+1)=0\Leftrightarrow \frac{7}{4}(x^2-\frac{8}{7}x)(\frac{1}{\sqrt{2x^2+x+9}+\frac{1}{2}x+3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+1}+\frac{1}{2}x+1})=0$

Mà $x+4=\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}>\sqrt{\frac{71}{8}}+\sqrt{\frac{7}{8}}\Rightarrow x>-1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x^2+x+9}+\frac{1}{2}x+3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+1}+\frac{1}{2}x+1}>0 \Rightarrow x\in \left \{ 0;\frac{8}{7} \right \}$

Bài 2:

a) y=0 không là nghiệm của hệ 

$pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{y^2}=2 & & \\ (x+\frac{1}{y})(2-\frac{x}{y})=2x^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{y^2}=2 & & \\ (x+\frac{1}{y})(x^2+\frac{1}{y^2})-\frac{x^2}{y}-\frac{x}{y^2}=2x^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{y}=\pm 1$




#692321 Giải phương trình: a/ $2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}...

Gửi bởi githenhi512 trong 04-09-2017 - 14:35

Giải phương trình:

a/ $2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2$

b/ $\sqrt[3]{\frac{x^{9}-9x^{2}+1}{3}}=2x+1$

c/ $\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{1+\sqrt{-x^{2}+x+2}}-\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{1+\sqrt{-x^{2}-x+4}}=x^{2}-1$

 

a) Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=3t-1$

pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (3t-1)^3=2x-1 & & \\ 2(3t-1)=(3x-1)^3+4x-1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (3t-1)^3=2x-1 & & \\ (3x-1)^3=6t-4x-1 & & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow x=t \Leftrightarrow \sqrt[3]{2x-1}=3x-1\Leftrightarrow x=0$

c) $Đk: x\in \left [ 0;\frac{-1+\sqrt{17}}{2} \right ]$

$pt\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{x^2+x})+(\sqrt{-x^4+3x^2-6x+8}-\sqrt{-x^4+3x^2+2x})}{(1+\sqrt{-x^2+x+2})(1+\sqrt{-x^2-x+4})}=(x-1)(x+1)\Leftrightarrow \frac{\frac{2(1-x)}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2+x}}+\frac{8(1-x)}{\sqrt{-x^4+3x^2-6x+8}+\sqrt{-x^4+3x^2+2x}}}{(1+\sqrt{-x^2+x+2})(1+\sqrt{-x^2-x+4})}=(x-1)(x+1)$

$\Leftrightarrow x=1 do x\in D$

b) Bạn xem lại đề có phải là $x^9+9x^2-1$ hay không :)




#686874 Đề luyện tập olympic khối 10 VMF lần 1 tháng 7

Gửi bởi githenhi512 trong 07-07-2017 - 21:58

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y)\\ \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5 \end{matrix}\right.$

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của tam thức: $f(x)=x^2+ax+b$ với $a,b \in[-1,1]$. Chứng minh: $(\left | x_{1} \right |+1)(\left | x_{2} \right |+1) \leqslant 2+\sqrt{5}$

 

$\boxed{\text{Lời giải bài 1}}$

a) Ta có: $\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=\sqrt{(2x+y)^2+(x-y^2)}+\sqrt{(x+2y)^2+(x-y)^2}\geq 2x+y+x+2y=3(x+y)\Rightarrow x=y$ 

pt (2), $\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5\Leftrightarrow [\sqrt{3x+1}-(x+1)]+2[\sqrt[3]{19x+8}-(x+2)]-2x(x-1)=0\Leftrightarrow -x(x-1)\left [ \frac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{2(x+7)}{\sqrt[3]{(19x+8)^2}+\sqrt[3]{19x+8}(x+2)+(x+2)^2}+2\right ]=0$

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(1;1) \right \}$

b) x, x2 là nghiệm của pt f(x)=0 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-a & & \\ x_{1}x_{2}=b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\left | x_{1} \right |+1)(\left | x_{2} \right |+1)=|b|+1+\sqrt{a^2-2b+2|b|}\leq 2+\sqrt{1+2+2.1}=2+\sqrt{5}$




#686014 giải bất phương trình : $\sqrt[3]{3-x} \geq 1-\...

Gửi bởi githenhi512 trong 30-06-2017 - 15:05

giải bất phương trình : $\sqrt[3]{3-x} \geq 1-\sqrt{x-2}$.

Giúp em nhanh với ạ. TT

Đk: $x\geq 2$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{x-2}\geq 1-\sqrt[3]{3-x}$

$\Leftrightarrow x-2\geq 1-2\sqrt[3]{3-x}+\sqrt[3]{(3-x)^2}\Leftrightarrow \sqrt[3]{(3-x)^3}+\sqrt[3]{(3-x)^2}-2\sqrt[3]{3-x}\leq 0\Leftrightarrow \sqrt[3]{3-x}(\sqrt[3]{3-x}-1)(\sqrt[3]{3-x}+2)\leq 0$

Mà $\sqrt[3]{3-x}-1\leq 0$

$\Rightarrow \sqrt[3]{3-x}(\sqrt[3]{3-x}+2)\geq 0\Rightarrow x\in [2;3]$ hoặc $x\geq 11$




#685519 $\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{-3x^3+x^2+2x-1}=...

Gửi bởi githenhi512 trong 25-06-2017 - 01:11

Giải phương trình

$\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{3x^3+x^2+2x-1}=2x^2+2x+2$

Cách 1:

 Đk: $3x^3+2x^2+2, -3x^3+x^2+2x-1\geq 0\Rightarrow x< -0.5$

Ta có: $2x^2+2x+2=\sqrt{3x^3+2x^2+2}+\sqrt{3x^3+x^2+2x-1}\leq \sqrt{2(3x^2+2x+1)}\Leftrightarrow 2x^2+4x+2\leq \sqrt{2(3x^2+2x+1)}+2x\Leftrightarrow 2x^2+4x+2\leq \frac{2x^2+4x+2}{\sqrt{2(3x^2+2x+1)}-2x}$

Mặt khác: $\sqrt{2(3x^2+2x+1)}-2x> 1$( do $x< -0.5$) $\Leftrightarrow 2x^2+4x+2\geq \frac{2x^2+4x+2}{\sqrt{2(3x^2+2x+1)}-2x}$

Do đó: $2x^2+4x+2=0\Leftrightarrow x=-1$

Cách 2: 

Từ Đk $\rightarrow x\in (-1.16;-0.8)$

pt $\Leftrightarrow [\sqrt{3x^3+2x^2+2}-(2.5x+3.5)]+[\sqrt{-3x^3+x^2+2x-1}-(-4.5x-3.5)]=2x^2+4x+2$

$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2(3x-10.25)}{\sqrt{3x^3+2x^2+2}+(2.5x+3.5)}+\frac{-(x+1)^2(3x+13.25)}{\sqrt{-3x^3+x^2+2x-1}+(-4.5x-3.5)}=(x+1)^2$

Nhận thấy: $VT\leq 0, VP\geq 0\veebar x\in (-1,16;-0.8)\Rightarrow x=-1$




#685516 $(x^3-4)=(\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4)^2$

Gửi bởi githenhi512 trong 24-06-2017 - 23:36

Bài toán: Giải phương trình:

$$(x^3-4)^3=(\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4)^2$$

Từ pt $\Rightarrow x^3>4$

pt $\Leftrightarrow (x^3-4)^3-x^6=[\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4]^2-x^6\Leftrightarrow (x-2)(x^2+x+2)[(x^3-4)^2+(x^3-4)x^2+x^4]=[\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4-x^3][\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4+x^3]$

Mà $\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+4-x^3=\frac{(2-x)[x^4(x-2)(x^3+2x^2+4x+4)+x^3(4x^3-15)+4x^6+18x^2+20x+40]}{\sqrt[3]{(x^2+4)^4}+\sqrt[3]{(x^2+4)^2}(x^3-4)+(x^3-4)^2}\leq 0\veebar x^3>4$

Do đó: $x= 2.$




#684188 $P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1...

Gửi bởi githenhi512 trong 12-06-2017 - 12:06

Không mất tính tổng quát, giả sử $a> b> c\geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \right )^2+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{(a-c)^2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=2b-c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(a-c)^2$ (*)

           $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+c)^2+b^2\geq 0$( luôn đúng) $\Rightarrow (*)$ đúng

Do đó: $P\geq \frac{9}{2}\Rightarrow MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=-c>0; b=0$ và các hoán vị.

 

 




#682531 $\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^...

Gửi bởi githenhi512 trong 31-05-2017 - 13:14

 

Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:

a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$

 
b/  $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}} + \frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

 

a. Áp dụng bđt phụ $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$

$\Rightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq 2(x^3+y^3+z^3)$

$\Rightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 3(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow đpcm$

b. $\frac{x^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{y}{2}$

Tương tự, cộng vế vs vế ta có đpcm  :)




#677647 cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{a^{2}+b^{2}-...

Gửi bởi githenhi512 trong 16-04-2017 - 21:46

cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}}$

 

     Ta có định lí hàm Cos trong tam giác: $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc.CosA}$

Xét tứ giác ABCD có $\widehat{BAC}=30^{\circ}; \widehat{CAD}=60^{\circ}; AB=a; AC=b, AD=c$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} BC=\sqrt{a^2+b^2-2ab.Cos30^{\circ}} & & \\ CD=\sqrt{b^2+c^2-2bc.Cos60^{\circ}}& & \\ BD=\sqrt{a^2+c^2} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} BC=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab} & & \\ CD=\sqrt{b^2+c^2-bc} & & \\ BD=\sqrt{a^2+c^2} & & \end{matrix}\right.$

Mà $BC+CD\geq BD$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}}$( đpcm)

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow$ C nằm giữa B và D

Hình gửi kèm

  • TugiacABCD.png



#675576 giải hệ phương trình;$x^{4}-x^{3}+3x^{2}-4...

Gửi bởi githenhi512 trong 28-03-2017 - 23:27

giải hệ phương trình;$x^{4}-x^{3}+3x^{2}-4y-1=0$

                                 và:$\sqrt{\frac{x^{2}+4y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+2xy=4y^{2}}{3}}=x+2y$

$Ta có: \sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}\geq \frac{x+2y}{2}$

            $\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=\sqrt{\frac{(x+2y)^2-2xy}{3}}\geq \sqrt{\frac{(x+2y)^2-\frac{(x+2y)^2}{4}}{3}}\geq \frac{x+2y}{2}$

Kết hợp vs (2) $\Rightarrow x=2y\geq 0$

$(1) \Leftrightarrow x^4-x^3+3x^2-2x-1=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=0.5$




#675574 giải phương trình: $8x^3+10x-17=8\sqrt[3]{-24x^2+30x-7}...

Gửi bởi githenhi512 trong 28-03-2017 - 23:14

giải phương trình: $8x^3+10x-17=8\sqrt[3]{-24x^2+30x-7}$

$pt\Leftrightarrow (2x-1)^3+24x^2-14x-9=8\sqrt[3]{-24x^2+30x-7}$

Đặt $\sqrt[3]{-24x^2+30x-7}=2t-1$

$pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(2x-2)^3+24x^2-14x-16t+7=0 & \\ & (2t-2)^3+24x^2-30x+7=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=t$




#666864 $4{ x }^{ 2 }+\sqrt { 3x+1 } =13x-5...

Gửi bởi githenhi512 trong 03-01-2017 - 22:01

 

2.${ 18x }^{ 2 }+16x-29=\sqrt { 12x+61 } $

Đặt $\sqrt{12x+61}= 6y+1(y\geq \frac{-1}{6})\Rightarrow ....$




#666857 $4{ x }^{ 2 }+\sqrt { 3x+1 } =13x-5...

Gửi bởi githenhi512 trong 03-01-2017 - 21:42

1.$4{ x }^{ 2 }+\sqrt { 3x+1 } =13x-5$

 

Đặt $\sqrt{3x+1}=2a+3( a\geq -1.5)$. Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}4x^2+2a+3=13x-5\\4a^2+12a+9=3x+1\end{array}\right.$

Trừ vế cho vế ta đc: (x+a)(4x-4a-10)=0 =>......




#648790 cho x,y,z>0 và x^2+y^2+z^2=3.c/m

Gửi bởi githenhi512 trong 09-08-2016 - 21:23

$x^3+x^3+1\geq 3x^2$

Tương tự $\Rightarrow 2(\sum x^3)\geq 3.3-3=3(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi x=y=z=1