toannguyenebolala

Giải phương trình sau $4x^2+2x+\sqrt{5x+8}-\sqrt{7x+5}-5=0$

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c$ và $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc. Xét đường thẳng $\Delta$ bất kì đi qua $S$, gọi $A_1,B_1,C_1$ theo thứ tự là các điểm đối xứng với $A,B,C$ qua $\Delta$. Các mặt phẳng lần lượt đi qua $A_1,B_1,C_1$ theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,SC$ đồng quy tại một điểm $P$.

a) Chứng minh rằng khi $\Delta$ thay đổi thì $P$ luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.

b) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng giá trị của đại lượng $\frac{PA^2}{SA^2}+\frac{PB^2}{SB^2}+\frac{PC^2}{SC^2}-\frac{PH^2}{SH^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của $\Delta$.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức sau 

$\frac{x(y+z-x)}{logx}=\frac{y(z+x-y)}{logy}=\frac{z(x+y-z)}{logz}$

Chứng minh rằng $x^yy^x=y^zz^y=z^xx^z$.

                                         

Bài 4) (3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$ ta luôn có $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k(C_{n}^{k}}{{)}^{2}}=nC{}_{2n-1}^{n-1}$

 

Giải bài dễ trước

Nhận xét $k(C_{n}^{k})^{2}=nC_{n-1}^{k-1}C_{n}^{k}$

Lúc này ta cần chứng minh $\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}C_{n}^{n-k}=C_{2n-1}^{n-1}$

Xét tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...a_{2n-1} \right \}$.Chia tập $A$ thành 2 tập con $B$ có $n-1$ phần tử và $C$ có $n$ phần tử và $B\cap C=\varnothing$. Dễ thấy phép chọn ra $n-1$ phần tử từ tập $A$ cũng là phép chọn ra $k-1$ phần tử từ tập $B$ và $n-k$ phần tử từ tập $C$.

Như vậy, ta có điều cần chứng minh.

Đề cử thành viên: chanhquocnghiem

Thành tích: Đóng góp tích cực trong các topic Đại Số, giúp đỡ các anh chị trong ôn thi Đại học.

Ghi chú thêm: Em nghĩ mọi người nên tích cực đề xuất, cá nhân thấy nhiều bạn 2k2, 2k3 cũng hoạt động rất tích cực, nên có những đề xuất để động viên các thành viên năng nổ xây dựng diễn đàn ngày một hoàn thiện hơn.

Giải phương trình: $x^3+\frac{x^3}{(x-1)^3}+\frac{3x^2}{x-1}-2=0$

Đặt $\frac{x}{x-1}=y$, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+3xy=2 & \\ x+y=xy & \end{matrix}\right.$

Đến đây dễ dàng.

Bài toán 25: Cho $a,b,c$ là các hằng số thực và $P(x)=ax^3+bx^2+cx$. Tìm tất cả các số $a,b,c$ sao cho $P(2)=26$ và $\left | P(x) \right |\leq 1$ với mọi số thực $x$ sao cho $\left | x \right |\leq 1$.

Bài toán 26: Xét $k$ là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con $A_{1},A_{2},...A_{2017}$ của tập $\left \{ 0,1,...,10^{2017}-1 \right \}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng $k$ phần tử và mỗi phần tử của tập $\left \{ 0,1,...,10^{2017}-1 \right \}$ đều biểu diễn được dưới dạng $x_{1}+x_{2}+...+x_{2017}$ trong đó $x_{i}\in A_{i}$ với $i=1,2,...,2017$. Hãy xác định giá trị bé nhất của $k$.

Cho $a,b,c>o ; a+b+c=3$ Tìm GTLN của 

$\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

$\frac{a^2b}{(2a+b)^2}=\frac{a.a.b}{(2a+b)^2}\leq \frac{(2a+b)^3}{27(2a+b)^2}=\frac{2a+b}{27}$

Tương tự...

Cho a,b,c >0; $a^2+b^2+c^2$ =1. CM: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)}=\frac{1}{\sum a-\sum a^3}$

Sử dụng AM-GM, ta có: $\left\{\begin{matrix} a^3+ \frac{a}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}a^2& & \\ b^3+ \frac{b}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}b^2& & \\ c^3+ \frac{c}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}c^2 & & \end{matrix}\right.$

.Suy ra $\sum a-\sum a^3\leq \frac{4}{3}\sum a-\frac{2}{\sqrt{3}}\sum a^2\leq \frac{4}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}$

Suy ra $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{2} (Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mình xin đóng góp 1 bài cho topic 

Bài toán số 6: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0< x\leq y\leq z\leq 3$, $yz\leq 6,xyz\leq 6$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x+y+z$

Tìm các bộ ba số nguyên $(m;n;p)$ thỏa đẳng thức $\frac{24p+33n}{m}=\frac{24p+44m}{n}=\frac{44m+33n}{p}$

Cho X ={1;2;...;2001}. Tìm $m\in N^{*}$ nhỏ nhất để với mọi cách chọn ra m số của X là $x_1;x_2;...;x_m$ thì luôn có i và j để $x_i+x_j$ là lũy thừa của 2.

Lũy thừa của 2 có dạng $2^n(n>0)$. Nhận thấy $n$ càng lớn hay $2^n$ càng lớn thì càng có nhiều cặp số $(x_i,x_j)$ thỏa mãn $x_i+x_j=2^{n}$.

Vậy để $m$ đạt Min thì $n$ phải đạt Max và $2^{n}\leq 2000+2001$. Suy ra $n=11$

Vậy giờ ta sẽ tìm số $m$ nhỏ nhất để từ tập $X$ thì với mọi cách chọn ra m số thì luôn có cặp số  $(x_i,x_j)$ thỏa mãn $x_i+x_j=2048$.

Số cặp số  $(x_i,x_j)$ thỏa mãn $x_i+x_j=2048$ là $2001-1025+1=977$ cặp.

Vậy số $m$ nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=2001-977+1=1025$

Tính tổng:

$S=3C_{2014}^{0}+5C_{2014}^{2}+7C_{2014}^{4}+....+2017C_{2014}^{2014}$

Ta có $S=3(C_{2014}^{0}+C_{2014}^{2}+...+C_{2014}^{2014})+(2C_{2014}^{2}+4C_{2014}^{4}+...+2014C_{2014}^{2014})$

Trước hết, ta có $C_{2014}^{0}+C_{2014}^{2}+...+C_{2014}^{2014}=C_{2013}^{0}+C_{2013}^{1}+C_{2013}^{2}+...+C_{2013}^{2013}=2^{2013}$

Lúc này, ta sẽ chứng minh đẳng thức sau $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ với $k,n\in \mathbb{N};0\leq k\leq n$. Chứng minh đẳng thức này không mấy khó khăn.

Vậy, ta có $2C_{2014}^{2}+4C_{2014}^{4}+...+2014C_{2014}^{2014}=2014(C_{2013}^{1}+C_{2013}^{3}+...+C_{2013}^{2013})=2014.2^{2012}$

Suy ra $A=3.2^{2013}+2014.2^{2012}=505.2^{2014}$

1.X là một tập con của tập A={1;2;3;...;10000} có tính chất với mọi a,b thuộc X, a khác b thì ab không thuộc X. Hỏi X có tối đa bao nhiêu phần tử?

 

2. T là tập tất cả các ước nguyên dương của số 2004¹⁰⁰ . S là một tập con của T thỏa mãn với mọi a,b thuộc S, a>b thì a không chia hết cho b. Hỏi S có tối đa bao nhiêu phần tử?

1) Chia tập A thành hai tập con $K=\left \{ 1;2;...100\right \}$ và $H=\left \{ 101;102;...10000 \right \}$

Nhận thấy tập X thỏa mãn điều kiện bài toán chứa không quá 1 phần tử thuộc tập $K$

Xét tập $X_{0}=\left \{ 100;101;...10000 \right \}$ là một tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giờ ta xét tập hợp chứa 1 phần tử thuộc tập $K$, phần tử đó là  $a$.

Nhận thấy $a$ càng bé thì số phần tử của tập hợp thỏa mãn đề bài chứa nó càng bé. Ta xét $a=99$

Lúc này, phần tử nhỏ nhất trong các phần tử còn lại phải không bé hơn 102. Dễ thấy số phần tử lớn nhất có thể có của tập hợp thỏa mãn đề bài lúc này ít hơn số phần tử của tập $X_{0}$.

Vậy, tập X thỏa mãn đề bài có tối đa $9901$ phần tử.

Số cách chia 7 quả táo và 3 quả cam thành hai phần có số quả bằng nhau là $\frac{1}{2}.C_{10}^{5}$

Việc chọn ra một phần gồm 5 quả sao cho phần này chứa toàn bộ 3 quả cam gồm hai công đoạn: Lấy ra 3 quả cam và chọn ra 2 quả táo từ 7 quả táo kia, như vậy, có thể thực hiện việc này bằng $C_{7}^{2}$ cách.

Suy ra, có tất cả $105$ cách thực hiện yêu cầu bài toán.