lequangnghia

Bài 1

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm bất kì trên $BC(D\neq B,C)$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$. CMR $AE.EB+AF.FC=BD.DC$

Dễ thấy AEDF là hình chữ nhật. Khi đó

$AE.EB+AF.FC$

$=DF.EB+ED.FC$

$=DC.sin\widehat{FCD}.BD.sin\widehat{EDB}+BD.cos\widehat{EBD}.DC.cos\widehat{EBD}$

$=DC.BD(sin^{2}\widehat{FCD}+cos^{2}\widehat{FCD})=DC.BD$

Bài toán: Giải phương trình lượng giác sau :

$a,2\sqrt{2}\cos x (\sin x+\cos x)=2\sqrt{2}+\cos 2x\\ b,\sin^2 x(\tan x +1)=3\sin x (\cos x-\sin x)+3$

Phương trình dưới tương đương: 

$sin^{2}(\frac{sinx}{cosx}+1)=3sinx(cosx-sinx)+3(sin^{2}x+cos^{2}x)$

$\Rightarrow sin^{2}\frac{sinx+cosx}{cosx}=3(sinxcosx+cos^{2}x)$

$\Rightarrow sin^{2}(sinx+cosx)=3cos^{2}x(sinx+cosx)$

Hoặc $sinx+cosx=0$ Hoặc $sin^{2}x=3cos^{2}x$

Bài toán: Giải phương trình lượng giác sau :

$a,2\sqrt{2}\cos x (\sin x+\cos x)=2\sqrt{2}+\cos 2x\\ b,\sin^2 x(\tan x +1)=3\sin x (\cos x-\sin x)+3$

$2\sqrt{2}cosx(sinx+cosx)=2\sqrt{2}+cos2x$

$2\sqrt{2}cosx(sinx+cosx)=2\sqrt{2}(sin^{2}x+cos^{2}x)+cos^{2}x-sin^{2}x$

$2\sqrt{2}sinx(cosx-sinx)=(cosx-sinx)(cosx+sinx)$

Đến đây đặt nhân tử là ra

f, I là trung điểm AT. C/m IH là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

$\Delta AHT$ vuông ở H có I là trung điểm AT.$\Rightarrow \widehat{AHI}=\widehat{HAI}$

Gọi F là trung điểm AK

$\Delta AHK$ vuông ở H có F là trung điểm AK.$\Rightarrow \widehat{AHF}=\widehat{HAF}$

Mà $\widehat{IAH}+\widehat{HAF}=90^{o}$ ( do AT vuông AK)

$\Rightarrow \widehat{IAH}+\widehat{AHF}=90^{o}$

$\Rightarrow$ IH vuông HF

Vậy IF là tiếp tuyến

e, khi S di chuyển trên Ax vuông góc (ABC). C/m HK luôn đi qua một điểm T cố định và góc TAB = góc TCA. C/m kết quả luôn đúng khi tam giác ABC không vuông ở B

Gọi T là giao của HK và BH

T thuộc BC, BC con (ABC) nên T thuộc (ABC)

Do, B, C, K, H thuộc 1 đường tròn nên

$CB.CT=CK.CS$

mà $CK.CS=AC^{2}$

nên $CB.CT=CA^{2}$

Vậy tam giác ABT vuông ở A có Ab là đường cao.

Suy ra T cố định, đpcm

Lúc này góc TAB bằng góc TCA ( vì cùng cộng với góc BAC góc 90)