lequangnghia

Cho $x,y,z>0$ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

CM $\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq x$

 $\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq y$

 $\frac{z^{2}}{z+x}+\frac{z+x}{4}\geq z$

Cộng theo vế ta được 

$\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Mà ta có $1=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}\leq x+y+z$

Vậy $\sum \frac{x^{2}}{x+y}\geq \frac{1}{2}$

Cho $x,y,z> 0 ;xyz=1$

CM $\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+y)(1+x)}$$\geq \frac{3}{4}$

Ta có $\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3}{4}x$

 $\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\geq \frac{3}{4}y$

 $\frac{z^{3}}{(1+y)(1+x)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8}\geq \frac{3}{4}z$

Cộng 3 bđt theo vế ta thu được $\sum \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

Bài 2 $\bigtriangleup $ đều $ABC$  nội tiếp $(O)$, $d$ là cát tuyến đi qua $A$ cắt $(O)$ tại $E$, cắt hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ lần lượt tại $M$ và $N$. $MC$ cắt $MN$ tại $F$. CMR

             a) $\bigtriangleup CAN\sim \bigtriangleup BMA$

             b) $\bigtriangleup MBC\sim \bigtriangleup BCN$

             c) Tứ giác $BMEF$ nội tiếp

             d) Đường thẳng $EF$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $d$ thay đổi nhưng luôn qua $A$

MC cắt MN tại F là sao ạ, mình không vẽ nổi hình

 

Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn : $\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ 
Brazilian TST 

 

Giả sữ p là ước nguyên tố của $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+....+x+1$ thì p chia hết cho 7 hay chi 7 dư 1

Nếu x chia 7 dư 1 thì $\frac{x^{7}-1}{x-1}=x^{6}+...+x+1$ chia hết cho 7

Vậy $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên p chia hết cho 7, mà p nguyên tố nên p=7

Vậy $p\equiv 0$ (mod 7)

Nếu $(p,x-1)=7$ thì vì $\frac{x^{7}-1}{x-1}\vdots p$ nên $x^{7}\equiv 1$ (mod p)

Từ $(x^{7}-1)\vdots p\Rightarrow (x,p)=1$

Vậy $x^{p-1}\equiv 1$ (mod p)

Nếu (p-1,7)=1 thì có m, n nguyên sao cho $m(p-1)+n.7=1$

Từ đó $x=x^{m(p-1)+n.7}=(x^{p-1})^{m}.(x^{7})^{n}\equiv 1$  (mod p)

$\Rightarrow x-1\vdots p$ (vô lý)

Từ đây mọi ước dương của d của $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ đều thỏa $d\equiv 0$ (mod 7) hay  $d\equiv 1$ (mod 7)

Giả sử x,y là nghiệm

$\Rightarrow$ y chia 7 dư 1 hay y chia 7 dư 2 và $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 0 hay chia 7 dư 1

Nếu y chia 7 dư 1 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 5 hay y chia 7 dư 2 thì $y^{4}+...+1$ chia 7 dư 3.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Với ý tưởng tương tự, không khó để bạn giải bài toán tổng quát

1/ Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R (BC < 2R). A là 1 điểm di chuyển trên cung BC. M là điểm trên dây AC sao cho AC=3AM. Vẽ MN vuông góc với AB(N thuộc AB). Xđ vị trí của A để độ dài CN lớn nhất?

Ta có $NC^{2}=NA^{2}+AC^{2}-2.AN.AC.cosA=(AM.cosA)^{2}+AC^{2}-2.AM.cosA.AC.cosA=AC^{2}(\frac{cos^2{A}}{9}+1)-2.\frac{AC^{2}}{3}.cos^{2}A=AC^{2}(1-\frac{5}{9}cos^{2}A)$

Để CN max thì AC max. khi đó AC là đừng kính của $(O)$

 

$$a=\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}, b=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2$

Đặt $a=\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}, b=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$

Ta có $a+b=2, a^{4}b^{2}=1$

Thay $b=2-a$. giải hệ tìm a,b

Câu sau cứ bình phương dần dần là ra

Cho tam giác ABC vuông ở B.Kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1 và góc CBD=30 độ. Tính AC

Kẻ CH vuông BD

Ta có $\frac{1}{AC+1}=\frac{CH}{AB}=\frac{BC.tan30}{1}=tan30.\sqrt{AC^{2}-1}$

Từ đây giải ra aC

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}\geq \frac{4}{\sqrt{a^{2}+ab}+\sqrt{b^{2}+ab}}$  ( do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$)

Ta có $(\sqrt{a^{2}+ab}+\sqrt{b^{2}+ab})^{2}\leq (1+1)(a^{2}+ab+b^{2}+ab)\leq 2(a+b)^{2}\leq 4(a^{2}+b^{2})\leq 4(1-c^{2})$

Vậy $P\geq \frac{4}{2\sqrt{1-c^{2}}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

Đến đây khảm sát hàm 1 biến

2)Cho hai điểm A(1;1), B(2;−4). Tìm trên trục hoành điểm P sao cho:
a)PA+PB đạt giá trị nhỏ nhất.
b)|PA−PB| đạt giá trị lớn nhất.

Có thể dùng hình học sơ cấp nhưng mình sẽ trình bày cách phổ thông ( vì hình sơ cấp không phải ai cũng nhớ)

a) P thuộc trục hoành thì đặt $P(x,0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AP}=(x-1.-1), \overrightarrow{PB}=(x-2,4)$

$\Rightarrow PA+PA=\sqrt{(x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-2)^{2}+16}$

Tới đây bạn khảo sát hàm số là ra

b) $\left | PA-PB \right |=\left | \sqrt{(x-1)^{2}+1}-\sqrt{(x-2)^{2}+16} \right |$

Tương tự dùng khảo sát hàm

Cách này khá tự nhiên. chỉ cần đòi hỏi sữ dụng thành thạo công cụ đạo hàm.

P/s: nếu dùng hình sơ cấp:

Ta có $PA+PB\geq AB$

min xảy ra khi P là giao của AB và trục ox$

1)Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình x−y+6=0;2x−y=0. Viết phương trình đường thẳng d sao cho d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B đối xứng nhau qua trục Ox.

Gọi A thuộc d1 và B thuộc d2 sao cho d cắt d1, d2 lần lượt tại A, B.

Đặt $A(a,a+6), B(b,2b)$

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow I=(\frac{a+b}{2},\frac{a+2b+6}{2})$

I thuộc ox nên $a+2b+6=0$    (1)

$OA^{2}=OB^{2}$

$\Rightarrow a^{2}+(a+6)^{2}=b^{2}+4b^{2}$    (2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình. Giải hệ tìm a,b suy ra tọa độ A, B suy ra phương trình d

Cho a,b,c dương. Chứng minh

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$

Giaỉ  phương trình : 
 $\sqrt{5x^2+4x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

http://diendantoanho...rtx-1/?p=558234

Đề của bạn bị sai. đề đúng của nó đây

Tính nguyên hàm:

$\int x\left [ \left ( x+1 \right )^{n}+\left ( x-1 \right )^{n} \right ]dx$ $\left ( n\in \mathbb{N} \right )$

tách ra làm $\int x(x+1)^{n}, \int x(x-1)^{n}$

Ta có $\int x(x+1)^{n}=\int x.(\frac{x^{n+1}}{n+1})'=x\frac{x^{n+1}}{n+1}-\int \frac{x^{n+1}}{n+1}$

$\int \frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}\int x^{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\int(n+2)x^{n+1} =\frac{1}{(n+1)(n+2)}\int (x^{n+2})'=\frac{x^{n+2}}{(1+n)(2+n)}$

Tương tự, ta tìm được $\int x(x-1)^{n}$ không khó

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ lớn hơn $\frac{1}{2}$ thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4$

Chứng minh rằng: $(2x-1)(2y-1)(2z-1) \leq \frac{1}{8}$

Đặt $2x-1=a\Rightarrow x=\frac{a+1}{2}$

Bài toán trở thành

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 2$

Chứng minh $abc\leq \frac{1}{8}$

Từ giả thiết $\frac{1}{a+1}\geq 1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự ta có $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}},\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân theo vế ta có $\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{8abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

2) Cho 3 số thực dượng $a,b,c$: $a+b+c=3$. CMR: $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

Ta có $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})$

Thực hiện 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế. áp dụng a+b+c=3 ta thu được điều phải chứng minh